Wyznaczanie punktu w kwadracie - obroty,symetrie osiowe

[lukas7980]

Witam!
Gryzę się z jednym zadaniem, które jest dla mnie ważne, ponieważ automatycznie otworzy mi drogę do następnych. Mianowicie :

Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Wewnątrz tego kwadratu wyznaczyć taki punkt \(\displaystyle{ P}\), aby suma \(\displaystyle{ CP + DP + PP\prime}\), gdzie \(\displaystyle{ P\prime}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ P}\), na prostą \(\displaystyle{ AB}\), była możliwe najmniejsza.

Znam (czytałem) konstrukcję punktu Fermata i intuicja podpowiada mi, że punkt \(\displaystyle{ P}\) stworzy trójkąt równoramienny o kącie \(\displaystyle{ 120}\) stopni, lecz nie mam zielonego pojęcia jak go wyznaczyć

[kerajs]

Umieściłbym kwadrat w układzie współrzędnych. A idąc za Twoją intuicją niech \(\displaystyle{ A=(-a,0); B=(a,0); C=(a,2a); D=(-a,2a);}\), a punkt \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) gdzie \(\displaystyle{ -a \le x \le a \wedge 0 \le y \le 2a}\)
Optymalizowana suma to:
\(\displaystyle{ S(x,y)= \sqrt{(x+a)^2+(y-2a)^2} +\sqrt{(x-a)^2+(y-2a)^2} +y}\)
O ile sie nie pomyliłem to minimum występuje dla \(\displaystyle{ P=(0;2a-\frac{ \sqrt{3} }{3} a)}\)

[norwimaj]

Obróć trójkąt \(\displaystyle{ CPD}\) o \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) wokół punktu \(\displaystyle{ C}\) tak, żeby obraz punktu \(\displaystyle{ D}\) oraz punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) utworzyły trójkąt równoboczny na zewnątrz kwadratu.