Wykazać równość z polem trapezu.

[lukaszml]

Witam, mam pewien problem ze zrozumieniem rozwiązania pewnego zadania, jego treść to „Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\), gdzie \(\displaystyle{ AB || DC}\). Pola trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ CDE}\) są odpowiednio równe \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykaz, ze \(\displaystyle{ P= \left( \sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}\right)^2}\).”



Zrozumiałe jest, że:
\(\displaystyle{ P_{1}= \frac{a h_{1} }{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{1}= \frac{b h_{2} }{2}}\)

Lecz skąd wiemy, że skala podobieństwa

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = k = kb}\)

\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}} = k_{1} = k h_{2}}\)

Podniesiona do kwadratu daje mi stosunek \(\displaystyle{ P_1}\) do \(\displaystyle{ P_2}\).
Kolejną rzeczą której nie rozumie to, dlaczego \(\displaystyle{ k = kb}\) ?
\(\displaystyle{ \frac ab \cdot b = \frac ab}\)??
no i analogicznie z \(\displaystyle{ kh_2}\)
Na tym momencie się zatrzymuje co uniemożliwia mi dalszą analizę bardzo prosił bym o pomoc.

[szw1710]

Nie można linkować do konkurencji. Pewnie temat znajdzie się w koszu.

Czytaj teksty krytycznie. Napis \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k=kb}\) jest zupełnie pozbawiony sensu, albowiem stąd mamy w szczególności, że \(\displaystyle{ b=1}\) (o ile \(\displaystyle{ k\ne 0}\)). Poprawnym jest natomiast \(\displaystyle{ a=kb}\).

[lukaszml]

Okej czyli wyszło na moje że jest to dziwne
A czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie dot. \(\displaystyle{ \frac ab = k}\) to \(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2} = k^2}\)

[Zahion]

Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa, jest to twierdzenie powszechnie znane.
Przeczytaj 254769.htm

[szw1710]

lukaszml, stosuj LaTeX-a i podziękuj moderatorowi za nie wyrzucenia tematu do kosza

Nie zastanawiałem się nad formalnym uzasadnieniem. Jest to oczywiste, bo skoro wymiary liniowe zmieniają się w skali \(\displaystyle{ k}\), to tym samym pola zmieniają się w skali \(\displaystyle{ k^2}\). Tak to widzę i już. Nie jest to dowód. Spróbuj wykorzystać dostępne informacje: stosunki boków, pole trapezu, znane twierdzenia z geometrii itp.

Mamy np. \(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}=\frac{ah_1}{bh_2}=k\frac{h_1}{h_2}}\). Spróbuj sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac{h_1}{h_2}=k}\).

[lukaszml]

Super to już rozumiem , temat https://www.matematyka.pl/254769.htm wyjaśnił wątpliwości.
szw1710, Słuszna uwaga jeżeli liniowe zmieniają się w skali \(\displaystyle{ k}\), to tym samym pola zmieniają się w skali \(\displaystyle{ k^{2}}\).

Aczkolwiek dlaczego \(\displaystyle{ \frac{a h_{2} }{b} = h_{1}}\)
przy czym \(\displaystyle{ k h_{2} = \frac{a h_{2} }{b}}\)

[szw1710]

Nie czytaj tamtego rozwiązania, skoro startuje od złych przesłanek. Ponadto nie narażaj na uszczerbek cierpliwości moderatorów. Zamieszczanie takich obrazków zamiast zapisu w LaTeX-u nie jest zgodne z regulaminem. Już raz Ci odpuszczono. Oczywiście obrazek z trapezem jest jak najbardziej w porządku. Pozwalam sobie na tę uwagę jako niegdysiejszy moderator.

[lukaszml]

szw1710, Okej, zapamiętam

To abstrahując od tamtego rozwiązania, jak mógłbym rozwiązać je poprawnie ?

[szw1710]

Moja wskazówka pozostaje w mocy. Kombinuj.

[Dilectus]

Hmm... Rysunek jest jest tendencyjny - zadanie nie mówi, że trapez ma być równoramienny...

[szw1710]

A czy widzisz tam trapez równoramienny? Bo ja nie bardzo, Jak chcesz, zmierz ramiona linijką A małe trójkąty i tak są podobne, bo mają identyczne kąty.