Punkt E jest środkiem boku AD

[kasiacunia]

Witam mam takie zadanie do rozwiązania
Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AD}\) prostokąta \(\displaystyle{ ABCD}\). Na boku \(\displaystyle{ DC}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ F}\), że \(\displaystyle{ \angle ABE = \angle FBE}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \angle FEB=90}\)
Proszę o pomoc

[Pinionrzek]

Narysuj prostą \(\displaystyle{ EC}\) i pomyśl, gdzie można opisać okrąg.

[marcel112]

chcemy pokazać, że trójkąty ABE i EFD są podobne, oznaczmy \(\displaystyle{ |AE|=x}\), \(\displaystyle{ |AB|=b}\), \(\displaystyle{ |DF|=a}\) w trójkącie ABE mamy \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{x}{b}}\) wiemy także, że \(\displaystyle{ \angle BFC = 2\alpha}\) w trójkącie BCF mamy (1) \(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{2x}{b-a}}\) ponad to wiemy, że (2) \(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{2\tg \alpha}{1- \tg^2 \alpha}}\) korzystając z tego, że znamy \(\displaystyle{ \tg \alpha}\) wstawiamy go do (2) i mamy (3) \(\displaystyle{ \tg 2\alpha = \frac{2xb}{b^2-x^2}}\) porównując (1) i (3) i po prostych przekształceniach dostajemy \(\displaystyle{ x^2=ab}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{x}{b}=\frac{a}{x}}\) a to oznacza, ze nasze trójkąty ABE i EFD są podobne na podstawie cechy bkb zatem \(\displaystyle{ \angle FEB = 180 ^{\circ} - (\angle AEB + \angle FED) = 180 ^{\circ} - ((90 ^{\circ} - \alpha) + \alpha) = 90 ^{\circ}}\) c.n.d

btw skąd pochodzi to zadanie ?

[bakala12]

Inne rozwiązanie syntetyczne (chociaż to rozwiązanie Pinionrzeka, jest moim zdaniem łatwiejsze do wpadnięcia):

Ukryta treść:    

Dopełnijmy trójkąt \(\displaystyle{ AFD}\) do równoległoboku \(\displaystyle{ AFDP}\). Ponieważ \(\displaystyle{ AFDP}\) to równoległobok i \(\displaystyle{ AE=DE}\) to punkty \(\displaystyle{ F,E,P}\) są współliniowe oraz \(\displaystyle{ AE=EF}\). Stąd jeżeli dwusieczna kąta przecina przeciwległy bok w jego środku to trójkąt jest równoramienny i prosta ta jest równocześnie dwusieczną środkową i wysokością, a stąd \(\displaystyle{ \angle FEB=90^{\circ}}\)

[Ponewor]

Ukryta treść:    

Można wziąć punkt \(\displaystyle{ G}\) na prostej \(\displaystyle{ BF}\) taki, że \(\displaystyle{ \angle AEB = \angle GEB}\). Wówczas w następstwie dostajemy kolejno deltoid \(\displaystyle{ AEGB}\), \(\displaystyle{ EG \perp BF}\), czworokąty cykliczne \(\displaystyle{ AEGB}\) oraz \(\displaystyle{ DEGF}\), okrąg o środku w \(\displaystyle{ E}\) styczny do prostych \(\displaystyle{ AB, \ CD, \ BF}\) w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A, \ D, \ G}\) i fakt, że \(\displaystyle{ AG \perp GD}\). Z tego już na kilka sposobów nietrudno dostać tezę.

[bakala12]

Jak się bawić to się bawić

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BF}\) zaś \(\displaystyle{ M}\) niech będzie środkiem \(\displaystyle{ BF}\). Z twierdzenia Talesa: \(\displaystyle{ \frac{PD}{PF}=\frac{DA}{BF} \Rightarrow \frac{PD}{PF}=\frac{DE}{FM}}\) więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa \(\displaystyle{ EM \parallel AB}\). A zatem \(\displaystyle{ \angle EMF= 2 \angle EBM}\), a stąd łatwo wywnioskować, że kąt \(\displaystyle{ FEB}\) jest prosty.

[kasiacunia]

Nie do końca jeszcze to widzę, ale postaram się rozgryźć to rozumowanie
Dzięki