Wykazać, że w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanym w okrąg:
\(\displaystyle{ \sin\frac{B}{2}}= \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab+cd}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, a+b+c+d=2p}\).
Takie oto zadanie.
Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2014, o 22:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta
Niech \(\displaystyle{ |AC| = x}\). Liczymy \(\displaystyle{ x^2}\) na dwa sposoby z twierdzenia cosinusów.
Dostaniemy wtedy:
\(\displaystyle{ \cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{2} = \ldots}\)
przekształcenia nie są żmudne, trzeba skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia
Dostaniemy wtedy:
\(\displaystyle{ \cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{2} = \ldots}\)
przekształcenia nie są żmudne, trzeba skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta
Dzięki, ale do czego mam właściwie dojść w tym rozwiązaniu?
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2014, o 22:06 przez soszu, łącznie zmieniany 1 raz.