Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
soszu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta

Post autor: soszu »

Wykazać, że w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanym w okrąg:
\(\displaystyle{ \sin\frac{B}{2}}= \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab+cd}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ AB=a, BC=b, CD=c, AD=d, a+b+c+d=2p}\).

Takie oto zadanie.
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2014, o 22:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta

Post autor: sebnorth »

Niech \(\displaystyle{ |AC| = x}\). Liczymy \(\displaystyle{ x^2}\) na dwa sposoby z twierdzenia cosinusów.

Dostaniemy wtedy:

\(\displaystyle{ \cos B = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1 - \cos B}{2} = \ldots}\)

przekształcenia nie są żmudne, trzeba skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia
soszu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 6 maja 2013, o 17:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta

Post autor: soszu »

Dzięki, ale do czego mam właściwie dojść w tym rozwiązaniu?
Ostatnio zmieniony 13 wrz 2014, o 22:06 przez soszu, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Dowód: czworokąt wpisany w okrąg i sinus połowy kąta

Post autor: sebnorth »

ze wzoru na cosinus podwojonego kąta
ODPOWIEDZ