Okrąg leżący na prostej styczny do innego okręgu

[koziaczek]

Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\) o tych samych promieniach oraz prosta \(\displaystyle{ L}\). Środek okręgu \(\displaystyle{ O_{1}}\) leży na prostej \(\displaystyle{ L}\), natomiast o okręgu \(\displaystyle{ O_{2}}\) wiadomo, że leży w odległości mniejszej niż dwukrotność promienia okręgów.

W jaki sposób znaleźć współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ O_{1}}\) tak, aby po przesunięciu wzdłuż prostej \(\displaystyle{ L}\) był styczny z okręgiem \(\displaystyle{ O_{2}}\) oraz punkt styczności tych okręgów \(\displaystyle{ P}\)?

Dane:

\(\displaystyle{ L: Ax + By + C}\)
\(\displaystyle{ O1: (x-x_{1})^{2} + (y-y_{1})^{2} = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ O2: (x-x_{2})^{2} + (y-y_{2})^{2} = r^{2}}\)

Rysunek:

[jarek4700]

Oblicz odległość środka drugiego okręgu od prostej (jest na to wzór).
Z Pitagorasa długość odcinka pomiędzy środkiem pierwszego okręgu a punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ L}\) z prostą prostopadłą zawierającą środek drugiego okręgu. Znając jeden koniec odcinka, jego długość i równanie prostej na której leży, można sobie policzyć drugi koniec np. z długości wektora albo równania trzeciego okręgu o środku w tym punkcie przecięcia i promieniu o obliczonej wcześniej długości (to się sprowadza do takich samych obliczeń).
A punkt styczności to po prostu środek odcinka o końcach w środkach okręgów.

Wyjdą dwa rozwiązania.