Konstrukcja punktu

[Pinionrzek]

Robiłem ostatnio zadania dotyczące okręgu Apoloniusza i natknąłem się na jedno z bardziej znanych: Dane są okręgi o1 i o2 rozłączne zewnętrznie. Wyznaczyć zbiór takich punktów A, z których okręgi o1 i o2 widać pod tym samym kątem. Mój pomysł polega na tym, by obrać sobie na płaszczyźnie jakiś punkt A, taki żeby z niego te dwa okręgi widać było pod równym kątem. Poprowadzić sobie styczne do obu okręgów w dwóch punktach z tego puntku A(przyjmijmy że w punktach kolejno \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}}\) i niech półproste \(\displaystyle{ A A_{2}}\) i \(\displaystyle{ A B_{1}}\) leżą wewnątrz kąta \(\displaystyle{ \angle A_{1}AB _{2}}\)). Prowadzimy teraz dwusieczne kąta wewnęrznego i zewnętrznego \(\displaystyle{ \angle A_{1}AB _{2}}\) . Niech tną one prostą \(\displaystyle{ A_{1}B_{2}}\) w jakiś punktach \(\displaystyle{ X _{1}}\) i \(\displaystyle{ X _{2}}\). Widać teraz zatem z prostych faktów, że te wszystkie punkty będą leżały na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ X _{1}X _{2}}\). Nie wiem, czy jest to poprawne rozumowanie. Nie wykazuję m.in., że w ogóle istnieje taki punkt A. Mógłby mi ktoś pomóc w dokończeniu tego problemu?

[timon92]

no ale dla różnych punktów \(\displaystyle{ A}\) dostaniesz różne punkty \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) więc to rozumowanie nie dowodzi że wszystkie punkty \(\displaystyle{ A}\) będą leżeć na jednym okręgu

co do istnienia punktu \(\displaystyle{ A}\) o żądanej własności - przecięcia wspólnych stycznych zewnętrznych i wewnętrznych jest ok (może to naprowadzi Cię na to, na jakim okręgu leżą pozostałe punkty o tej własności)

[Pinionrzek]

To będzie okrąg Apoloniusza dla środków tych dwóch okręgów i stosunku równym stosunkowi ich promieni? W rozwiązaniu odbijam sobie kolejno \(\displaystyle{ A}\) względem linii łączącej środki tych okręgów, prowadzę dwusieczne kątów utworzonych przez styczne wewnętrzne do \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A^{'}}\). Niech przecinają się one na prostej łączącej środki tych okręgów w \(\displaystyle{ P}\), prowadzimy okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ APA^{'}}\). Jest to okrąg Apoloniusza, o którym jest mowa, a wszystkie punkty na nim będą widziane pod tym samym kątem na mocy podobieństwa trójkątów. Jest ok?