ortocentrum i okręgi

xxxpatixxx · Post autor: **xxxpatixxx** » 6 wrz 2014, o 11:29

proszę o pomoc i dziękuje z góry
okręgi \(\displaystyle{ K_{1} , \ K_{2}, \ K_{3}}\) o tym samym promieniu \(\displaystyle{ R}\) mają następujące przekroje
\(\displaystyle{ K_{2} \cap K_{3}=\{H,A \}}\)
\(\displaystyle{ K_{1} \cap K_{3}=\{H,B \}}\)
\(\displaystyle{ K_{1} \cap K_{2}=\{H,C \}}\)

Udowodnić że \(\displaystyle{ H}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) a okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) ma promień równy \(\displaystyle{ R}\)

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 6 wrz 2014, o 13:13

Niech \(\displaystyle{ \{H,D\}}\) będzie przecięciem okręgu \(\displaystyle{ K_3}\) i prostej \(\displaystyle{ HC}\). Twoim celem jest pokazanie, że prosta \(\displaystyle{ AB}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ HCD}\). Co możesz powiedzieć o kątach \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ ACD}\)? (wsk.: okręgi \(\displaystyle{ K_1}\) i \(\displaystyle{ K_2}\), kąty wpisane/dopisane)

xxxpatixxx · Post autor: **xxxpatixxx** » 6 wrz 2014, o 13:47

według mnie te kąty są takie same ale nie wiem jak dojść ze to jest pod kątem prostym
nie wiem nic o kątach dopisanych

-- 6 wrz 2014, o 14:02 --

rozrysowałam to ale nie widzę gdzie ma być punkt D

timon92 · Post autor: **timon92** » 6 wrz 2014, o 14:33

inna droga: zaznacz środki \(\displaystyle{ O_1, O_2, O_3}\) okręgów \(\displaystyle{ K_1,K_2,K_3}\) i poprowadź promienie do punktów \(\displaystyle{ A,B,C,H}\)

czy widzisz jakieś romby? co można powiedzieć o czworokącie \(\displaystyle{ ABO_1O_2}\)?

xxxpatixxx · Post autor: **xxxpatixxx** » 6 wrz 2014, o 15:03

składa się z dwóch trójkątów podobnych i jest to równoległobok

timon92 · Post autor: **timon92** » 6 wrz 2014, o 15:17

no właśnie równoległobok czyli \(\displaystyle{ AB \parallel O_1O_2}\) a chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ AB \perp CH}\)

xxxpatixxx · Post autor: **xxxpatixxx** » 6 wrz 2014, o 16:00

Jeżeli przedłużymy CH do AB to będziemy CHD pokryje nam się z wysokości która jest pod kątem prostym powinnam coś jeszcze zauważyć ??

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 8 wrz 2014, o 19:47

xxxpatixxx pisze:według mnie te kąty są takie same ale nie wiem jak dojść ze to jest pod kątem prostym

Jeśli są takie same, to punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CD}\). (przypadek, gdy \(\displaystyle{ A}\) leży na prostej \(\displaystyle{ CD}\), wymaga innego uzasadnienia).
Podobnie punkt \(\displaystyle{ B}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ CD}\), więc \(\displaystyle{ AB\perp CD}\).

xxxpatixxx pisze: nie wiem nic o kątach dopisanych

Kąt dopisany zamiast wpisanego pojawia się w przypadku, gdy punkty \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ D}\) się pokrywają.