Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:
Niech \(\displaystyle{ A=A(\overrightarrow{PQ};\lambda)}\) będzie okręgiem Apoloniusza i niech K będzie dowolnym okręgiem przechodzącym przez punkty P,Q. Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \perp K}\).
Z góry dziękuję
Okrąg Apoloniusza
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Okrąg Apoloniusza
niech \(\displaystyle{ XY}\) będzie średnicą okręgu \(\displaystyle{ A}\) zawartą w prostej \(\displaystyle{ PQ}\) i niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem tego okręgu
wykaż wpierw, że \(\displaystyle{ X,Y,P,Q}\) jest czwórką harmoniczną (czyli że \(\displaystyle{ \frac{XP}{PY}=\frac{XQ}{QY}}\)), a potem skorzystaj z
wykaż wpierw, że \(\displaystyle{ X,Y,P,Q}\) jest czwórką harmoniczną (czyli że \(\displaystyle{ \frac{XP}{PY}=\frac{XQ}{QY}}\)), a potem skorzystaj z
Okrąg Apoloniusza
Dziękuję bardzo za odpowiedź Jednak nadal nie bardzo rozumiem, co tu ma się zadziać. Czy mogę prosić o jakieś prostsze wyjaśnienie?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1654
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Okrąg Apoloniusza
Jak pokazać, że to jest czwórka harmoniczna? Chyba najłatwiej z twierdzenia o dwusiecznej.
Jak wykazać lemat 2.26? Wystarczy rozpisać na pałę wszystkie odcinki i wyjdzie.
Kiedy okręgi są ortogonalne? Wtedy kiedy odcinek styczny poprowadzony ze środka jednego z okręgów do drugiego ma długość równą promieniowi tego pierwszego okręgu. Właśnie do tego dążymy. Lemat 2.26 mówi, że potęga punktu \(\displaystyle{ P}\) względem dowolnego okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ B,C}\) jest kwadratem długości odcinka \(\displaystyle{ PA}\).
Jak wykazać lemat 2.26? Wystarczy rozpisać na pałę wszystkie odcinki i wyjdzie.
Kiedy okręgi są ortogonalne? Wtedy kiedy odcinek styczny poprowadzony ze środka jednego z okręgów do drugiego ma długość równą promieniowi tego pierwszego okręgu. Właśnie do tego dążymy. Lemat 2.26 mówi, że potęga punktu \(\displaystyle{ P}\) względem dowolnego okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ B,C}\) jest kwadratem długości odcinka \(\displaystyle{ PA}\).