Okrąg Apoloniusza

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Dagaxd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 8 lut 2009, o 12:57
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Okrąg Apoloniusza

Post autor: Dagaxd »

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Niech \(\displaystyle{ A=A(\overrightarrow{PQ};\lambda)}\) będzie okręgiem Apoloniusza i niech K będzie dowolnym okręgiem przechodzącym przez punkty P,Q. Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \perp K}\).

Z góry dziękuję :)
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Okrąg Apoloniusza

Post autor: timon92 »

niech \(\displaystyle{ XY}\) będzie średnicą okręgu \(\displaystyle{ A}\) zawartą w prostej \(\displaystyle{ PQ}\) i niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem tego okręgu

wykaż wpierw, że \(\displaystyle{ X,Y,P,Q}\) jest czwórką harmoniczną (czyli że \(\displaystyle{ \frac{XP}{PY}=\frac{XQ}{QY}}\)), a potem skorzystaj z
Dagaxd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 8 lut 2009, o 12:57
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Okrąg Apoloniusza

Post autor: Dagaxd »

Dziękuję bardzo za odpowiedź Jednak nadal nie bardzo rozumiem, co tu ma się zadziać. Czy mogę prosić o jakieś prostsze wyjaśnienie?
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Okrąg Apoloniusza

Post autor: timon92 »

Jak pokazać, że to jest czwórka harmoniczna? Chyba najłatwiej z twierdzenia o dwusiecznej.

Jak wykazać lemat 2.26? Wystarczy rozpisać na pałę wszystkie odcinki i wyjdzie.

Kiedy okręgi są ortogonalne? Wtedy kiedy odcinek styczny poprowadzony ze środka jednego z okręgów do drugiego ma długość równą promieniowi tego pierwszego okręgu. Właśnie do tego dążymy. Lemat 2.26 mówi, że potęga punktu \(\displaystyle{ P}\) względem dowolnego okręgu przechodzącego przez punkty \(\displaystyle{ B,C}\) jest kwadratem długości odcinka \(\displaystyle{ PA}\).
Dagaxd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 8 lut 2009, o 12:57
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Okrąg Apoloniusza

Post autor: Dagaxd »

Dziękuję
ODPOWIEDZ