kąty n-foremne i ich własności w zadaniach

[alchem]

Mam pewny dylemat co do kilku zadań, otóż nigdy z podobnymi się nie spotkałem i nie wiem jak to wykazać/udowodnić/obliczyć:

1)Dany jest 15-kąt A1,A2...A15 foremny. Czy w podanym trójkącie conajmniej jeden z nich ma miarę 60 stopni?
a) A1A7A12
b)A1A4A6
c)A1A7A11
d)A1A6A7

2)Czy w n-kącie foremnym istnieje przekątna o długości równej promieniowi okręgu opisanego na tym n-kącie, jeżeli
n= 2016
n=2014
n=2013
n=2010

Zadania z trochę z innych działów ale nie chciałem pisać kilku postów

3)Czy istnieje trójkąt, którego wysokości mają długości:
2,3,5 2,3,7 3,6,7 3,5,7

4)Czy podana liczba jest kwadratem liczby całkowitej
\(\displaystyle{ 16^{2013}}\)*\(\displaystyle{ 36^{12345}}\)

\(\displaystyle{ 16^{2013}}\)*\(\displaystyle{ 12^{12345}}\)



5)Czy podana nierówność jest prawdziwa
\(\displaystyle{ 2^{306}}\)<\(\displaystyle{ 3^{204}}\)

6)Kwadrat dowolnej liczby całkowitej dodatniej względnie pierwszej z n daje przy dzieleniu przez n resztę 1. Czy powyższe zdanie jest prawdzie dla n=5, n=3


7)Dane są takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_{1}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\)....\(\displaystyle{ a_{2013}}\), że każda z następujacych 2012 sum \(\displaystyle{ a_{1}}\)+\(\displaystyle{ a_{2}}\),\(\displaystyle{ a_{2}}\)+\(\displaystyle{ a_{3}}\)....\(\displaystyle{ a_{2012}}\)+\(\displaystyle{ a_{2013}}\) jest liczbą wymierną. czy stad wynika, że liczbą wymierną jest także suma
a)\(\displaystyle{ a_{666}}\)+\(\displaystyle{ a_{2013}}\)
b)\(\displaystyle{ a_{37}}\)+\(\displaystyle{ a_{66}}\)
c)\(\displaystyle{ a_{1}}\)+\(\displaystyle{ a_{37}}\)
d)\(\displaystyle{ a_{66}}\)+\(\displaystyle{ a_{666}}\)

8)Czy istnieje n-wyrazowy postęp geometryczny o ujemnym iloczynie wyrazów, jeżeli n=2014, n=2013

[matmatmm]

1. Miara kąta wpisanego jest równa połowie miary kąta środkowego.
2. Jeśli przekątna ma długość równą promieniowi, to powstaje trójkąt równoboczny.
3. Warunek na istnienie trójkąta o wysokościach \(\displaystyle{ h_1,h_2,h_3}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}>\frac{1}{h_3} \\ \frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}>\frac{1}{h_2} \\ \frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}>\frac{1}{h_1}\end{cases}}\)
4. Zapisz jako iloczyn potęg liczb pierwszych.
5. \(\displaystyle{ 2^{304}=8^{102}, 3^{204}=9^{102}}\)
6. Rozpatrz wszystki możliwe reszty z dzielenia.
7. Sumy teleskopowe.
8. Rozpatrz możliwe znaki pierwszego wyrazu i ilorazu.

[alchem]

Nie bardzo rozumiem co da mi rozpisanie na potęgi liczb pierwszych z zadaniu 4, po rozpisaniu ich nie widzę odpowiedzi czy dalszego kroku liczenia

[matmatmm]

Jeśli wszystkie wykładniki będą parzyste, to liczba jest kwadratem liczby naturalnej.