Czworokąt cykliczny, wypukły i nie tylko. Kilka zadań.

[monisia7272]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań. Sama się męczyłam ale na nic nie wpadłam

Zad1. Niech P, Q, R, S będą rzutami punktu \(\displaystyle{ AC \cdot BD}\) na kolejne boki czworokąta cyklicznego ABCD. Udowodnić,że czworokąt PQRS da się wpisać w okrąg.

Zad 2. Udowodnić, że wielokąt jest wielokątem wypukłym wtedy i tylko wtedy,gdy cały leży w jednej półpłaszczyźnie, której krawędzią jest prosta wyznaczona przez każdy jego bok.

Zad 3. Dany jest prostokąt ABCD i takie punkty \(\displaystyle{ S \in AB, T \in DC}\) , że |BS|=|DT|. Niech P będzie punktem przecięcia odcinków BT i DS. Udowodnić, że \(\displaystyle{ h _{AP}}\) jest dwusieczną kąta DAB. Czy założenie prostokątności równoległoboku ABCD jest istotne?

[matmatmm]

Co do zadania drugiego: Jaką przyjmujesz definicję wielokąta?

[monisia7272]

Łamaną zamkniętą bez samoprzecięć wraz z wnętrzem nazywamy wielokątem. Gdy ma ona n-boków, nazywamy ją też n-kątem. Wielokąt nazywamy wielokątem wypukłym, gdy jest figurą wypukłą.

[Hydra147]

Co do 2. najpierw wykaż, że wielokąt jest wypukły wtw gdy każdy z jego kątów jest niewklęsły, a potem że gdy jakiś kąt wielokąta wypukłego jest wklęsły to półpłaszczyzny o których mowa w tezie wyznaczone przez boki, które ten kąt tworzą nie spełniają w/w warunków.

[matmatmm]

A w pierwszym czym jest \(\displaystyle{ AC\cdot BD}\) ?

[Ponewor]

Nietrudno się domyślić, że chodzi o punkt przecięcia przekątnych

1. a:    

Postaraj się pokazać, że właśnie ten punkt przecięcia przekatnych będzie środkiem okręgu wpisanego - to jest leży na dwusiecznych odpowiednich kątów.

1. b:    

Poszukaj czworokątów na których można opisać okręgi.

1. c:    

Dużo okręgów, to dużo możliwości przenoszenia kątów i pokazywania równości miar odpowiednich.

Zadanie 3. jest źle sformułowane. W zależności od tego czy punkty \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) należą do odcinków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\) mamy trzy istotnie różne konfiguracje: oba należą i wtedy odcinki \(\displaystyle{ BT}\) i \(\displaystyle{ DS}\) w ogóle się nie przecinają i punkt \(\displaystyle{ P}\) nie istnieją, albo należy tylko jeden, albo nie należą oba. Dobrze by też było wiedzieć, co oznacza \(\displaystyle{ h_{AP}}\).

[matmatmm]

W takim razie jest błąd w treści. Powinno być

Udowodnij, że w czworokąt PQRS da się wpisać okąg

Wskazówka do rozwiązania:

Ukryta treść:    

Niech punkty \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) leżą na bokach odpowiednio \(\displaystyle{ AB, BC, CD, AD}\). Punkt przecięcia przekątnych oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\). Należy udowodnić, że

\(\displaystyle{ \triangle ABD \sim \triangle KQR}\)
\(\displaystyle{ \triangle BCA \sim \triangle KRS}\)
\(\displaystyle{ \triangle CDB \sim \triangle KSP}\)
\(\displaystyle{ \triangle DAC \sim \triangle KPQ}\)

[monisia7272]

Dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ h _{AP}}\) jest to wysokość AP

-- 17 sie 2014, o 11:18 --

A co do zadania 2. mogłabym prosić o jaśniejsze wytłumaczenie albo rozwiązanie.-- 17 sie 2014, o 11:40 --A co jest w tych trójkątach podobnego?

[matmatmm]

Łamaną zamkniętą bez samoprzecięć wraz z wnętrzem nazywamy wielokątem. Gdy ma ona n-boków, nazywamy ją też n-kątem. Wielokąt nazywamy wielokątem wypukłym, gdy jest figurą wypukłą.

Definicja trochę niepełna, bo trzeba jeszcze sprecyzować, czym jest to wnętrze. Można udowodnić, że pozostałe punkty płaszczyzny dzielą się na dwa zbiory rozłączne w ten sposób, że dwa punkty należą do tego samego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy można je połączyć łamaną, która nie ma punktów wspólnych z brzegiem wielokąta. Z tych dwóch zbiorów tylko jeden jest ograniczony i ten nazywamy wnętrzem wielokąta.

Co do 2. najpierw wykaż, że wielokąt jest wypukły wtw gdy każdy z jego kątów jest niewklęsły, a potem że gdy jakiś kąt wielokąta wypukłego jest wklęsły to półpłaszczyzny o których mowa w tezie wyznaczone przez boki, które ten kąt tworzą nie spełniają w/w warunków.

Tutaj ciekawi mnie jak zdefiniowany jest kąt wewnętrzny wielokąta i czy to rozwiązanie opiera się na przytoczonej przeze mnie definicji.

Ja bym próbował tak:
Z prawej na lewą próbowałbym pokazać, że wielokąt jest przekrojem półpłaszczyzn wyznaczonych przez boki. Dalej pokazałbym, że półpłaszczyzna jest zbiorem wypukłym i przekrój rodziny zbiorów wypukłych jest wypukły.
Z lewej na prawą niestety nie wiem.

[monisia7272]

matmatmm mógłbyś mi pokazać dokładnie jak byś zrobił implikacje z prawej na lewą. Szczerze mówiąc jakbym wiedziała jak to zrobić to bym tych zadań nie wstawiała. Nie mam pojęcia. Więc jak wiesz jak zrobić chociaż część proszę napisz mi to szczegółowo, tzn. rozwiązanie bym prosiła.

[Ponewor]

Dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ h _{AP}}\) jest to wysokość AP

Ale niby czego wysokością jest \(\displaystyle{ AP}\), to nie ma sensu

A co do zadania 2. mogłabym prosić o jaśniejsze wytłumaczenie albo rozwiązanie.

Dostajesz bardzo obfite wskazówki przecież

A co jest w tych trójkątach podobnego?

Wszystko, jeśli tylko znasz definicję podobieństwa trójkątów.

Ale pokazywanie tych podobieństw, to zdaje się za dużo. Nas interesuje pokazanie równości miar kątów takich jak \(\displaystyle{ \left| \angle KPQ\right| = \left| \angle KPS\right|}\)

[matmatmm]

Ale pokazywanie tych podobieństw, to zdaje się za dużo. Nas interesuje pokazanie równości miar kątów takich jak \(\displaystyle{ \left| \angle KPQ\right| = \left| \angle KPS\right|}\)

Ja pokazałem równość tych kątów korzystając właśnie z tych podobieństw:
\(\displaystyle{ \left| \angle KPQ\right| =\left| \angle DAC\right|=\left| \angle DBC \right| =\left| \angle KPS\right|}\)

Znasz prostszy sposób?

[monisia7272]

Jak pokazałeś równość tych kątów?

[matmatmm]

Pierwsza i trzecia równość wynika z podobieństwa, druga to kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

[Ponewor]

Ale pokazywanie tych podobieństw, to zdaje się za dużo. Nas interesuje pokazanie równości miar kątów takich jak \(\displaystyle{ \left| \angle KPQ\right| = \left| \angle KPS\right|}\)

Ja pokazałem równość tych kątów korzystając właśnie z tych podobieństw:
\(\displaystyle{ \left| \angle KPQ\right| =\left| \angle DAC\right|=\left| \angle DBC \right| =\left| \angle KPS\right|}\)

Znasz prostszy sposób?

Wszystko jedno, pewnie robię to samo tylko bez używania słowa podobieństwo. U mnie druga równość to kąty oparte na tym samym łuku okręgu \(\displaystyle{ KQBP}\)