Ponewor pisze:
Wszystko jedno, pewnie robię to samo tylko bez używania słowa podobieństwo. U mnie druga równość to kąty oparte na tym samym łuku okręgu \(\displaystyle{ KQBP}\)
Jednak inaczej, ale mój sposób o wiele dłuższy.
Hydra147 pisze:Figura płaska ograniczona linią łamaną zamkniętą, zazwyczaj jest to łamana zwyczajna. Boki tej łamanej nazywamy bokami wielokąta, zaś jej wierzchołki nazywamy wierzchołkami wielokąta.
Ta definicja jest nieprecyzyjna. Co formalnie oznacza, że figura jest ograniczona łamaną?
-- 18 sie 2014, o 21:20 --
Może rozpiszę bardziej szczegółowo, jaki dowód implikacji z prawej na lewo bym zrobił. W poniższym dowodzie półpłaszczyzna jest bez brzegu.
Osłabimy nawet trochę założenia, mianowicie wystarczy założyć, że biorąc dwa kolejne wierzchołki wszystkie pozostałe leżą w tej samej półpłaszczyźnie, której krawędzią jest prosta wyznaczona przez te dwa.
Na początku należy udowodnić, że półpłaszczyzna jest zbiorem wypukłym, oraz, że przekrój rodziny zbiorów wypukłych jest wypukły (pozostawiam to bez dowodu). Stąd natychmiast wynika, że przekrój półpłaszczyzn wyznaczonych przez boki jest zbiorem wypukłym. Pozostaje pokazać, że ten zbiór jest wnętrzem wielokąta.
Oznaczmy przez
\(\displaystyle{ a_1,\ldots, a_n}\) wierzchołki, a przez
\(\displaystyle{ P_{1},P_{2},\ldots,P_{n}}\) półpłaszczyzny wyznaczone przez boki (na przykład
\(\displaystyle{ P_{1}}\) jest półpłaszczyzną o brzegu zawierającym odcinek
\(\displaystyle{ a_1a_2}\), do której należą wszystkie pozostałe wierzchołki).
Zgodnie z przyjętą przez nas definicją półpłaszczyzny przekrój
\(\displaystyle{ P=\bigcap_{k=1}^{n}P_k}\) jest rozłączny z łamaną
\(\displaystyle{ a_1\ldots a_n}\). Z jego wypukłości wynika zatem, że odcinek łączący dowolne dwa jego punkty nie ma punktów wpólnych z tą łamaną. To oznacza, że
\(\displaystyle{ P}\) zawiera się w całości we wnętrzu lub zewnętrzu wielokąta.
Pokażemy teraz, że wnętrze zawiera się w
\(\displaystyle{ P}\), co zakończy dowód. Ustalmy punkt
\(\displaystyle{ w}\) należący do wnętrza. Wykorzystamy następującą własność wielokąta (nie zastanawiałem się nad dowodem, ale chyba można ją uznać za znaną):
Dowolna prosta przechodząca przez punkt wewnętrzny przecina brzeg w dwóch punktach w ten sposób, że ten punkt leży wewnątrz odcinka o końcach w tych punktach z brzegu (te punkty nie muszą być wyznaczone jednoznacznie).
Poprowadźmy zatem prostą przez punkt
\(\displaystyle{ w}\) i niech przecina ona łamaną
\(\displaystyle{ a_1\ldots a_n}\) w punktach
\(\displaystyle{ p}\) i
\(\displaystyle{ q}\). Istnieją
\(\displaystyle{ i,j\in\{1,\ldots,n\} , i\neq j}\) takie, że
\(\displaystyle{ p\in a_ia_{i+1},q\in a_ja_{j+1}}\) (w razie czego
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_1}\) ).
Ustalmy teraz
\(\displaystyle{ k\in\{1,\ldots,n\}}\). Należy pokazać, że
\(\displaystyle{ w\in P_{k}}\). Możliwe są dwie sytacje:
1. Wszystkie punkty
\(\displaystyle{ a_i,a_{i+1},a_{j},a_{j+1}}\) należą do
\(\displaystyle{ P_k}\).
2. Jeden z tych punktów jest równy
\(\displaystyle{ a_{k}}\) lub
\(\displaystyle{ a_{k+1}}\).
W przypadku pierwszym z wypukłości półpłaszczyzny
\(\displaystyle{ P_k}\) wynika, że
\(\displaystyle{ p,q\in P_k}\) i jeszcze raz z wypukłości wynika, że
\(\displaystyle{ w\in P_k}\) (
\(\displaystyle{ w}\) był punktem wewnętrznym odcinka
\(\displaystyle{ pq}\)).
W przypadku drugim trzeba rozważyć kilka podprzypadków, ale jest to na podobnej zasadzie.-- 19 sie 2014, o 09:53 --Fakt, że przekrój tych półpłaszczyzn jest równy wnętrzu wielokąta, można też pokazać inną metodą:
Najpierw trzeba pokazać, że biorąc dowolny punkt
\(\displaystyle{ x\in P}\) i dowolny punkt
\(\displaystyle{ y\in \left( P\cup a_1\ldots a_n\right)'}\), odcinek
\(\displaystyle{ xy}\) ma punkt wspólny z łamaną
\(\displaystyle{ a_1\ldots a_n}\). Następnie indukcyjnie pokazujemy, że dowolna łamana o początku w
\(\displaystyle{ x}\) i końcu w
\(\displaystyle{ y}\) ma punkt wspólny z
\(\displaystyle{ a_1\ldots a_n}\). Stąd już wynika, że
\(\displaystyle{ P}\) jest albo wnętrzem albo zewnętrzem wielokąta. Wobec tego na koniec trzeba jeszcze pokazać, że
\(\displaystyle{ P}\) jest ograniczony.
