Pompe tw Ptolemeusza

[Pinionrzek]

Dany jest prostokąt ABCD. Wewnątrz niego obrano punkt P. Wykazać, że pole tego prostokąta jest nie większe od \(\displaystyle{ PC \cdot PA+PD \cdot PB}\).
Proszę o rozwiązanie tego zadania z użyciem twierdzenia Ptolemeusza.

[Kartezjusz]

Ukryta treść:    

rozważ prostą przechodzącą \(\displaystyle{ p}\) równoległą do krótszych boków.Wycinamy prostokąt \(\displaystyle{ ADE F}\) gdzie \(\displaystyle{ EF}\) jest odcinkiem wyciętym z naszej prostej zawierającej \(\displaystyle{ P}\) i zawartą w prostokącie.Przesuwamy go potem tak,aby obraz jego\(\displaystyle{ A'B'E'F}\)' spełniał warunek \(\displaystyle{ A'B'=CD}\) Powstaje prostokąt \(\displaystyle{ EFE'F'}\). I Wpisany w niego czworokąt \(\displaystyle{ PA'B'P'}\).gdyby ten czworokąt byłby wpisywalny w okrąg to z tw Ptomeleusza nierówność przechodzi w równość

[bakala12]

Nie można napisać tego samego prościej?

Ukryta treść:    

To jest stare jak świat zadanie na translację. Rozważmy translacje punktu \(\displaystyle{ P}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) otrzymując punkt \(\displaystyle{ P'}\). Teza jest nierównością Ptolemeusza dla czworokąta \(\displaystyle{ PCP'D}\).

Polecam zapamiętać ten motyw bo czasem może pomóc