dr Pompe zad 27

[Nerchio123]

Witam.

Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ E}\), a proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Udowodnić, że w czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków:
(a) \(\displaystyle{ AE + CF = AF + CE}\)
(b) \(\displaystyle{ BE + BF = DE + DF}\).


Udowodniłem na razie, że gdy w czworokąt można wpisać okrąg to zachodzą te dwie równości, mam problem z implikacją w drugą stronę. Mogę prosić o jakiegoś hinta?

[timon92]

wystarczy powtórzyć dowód "zwykłego" warunku wpisywalności okręgu w czworokąt, czyli np. w punkcie (a) rozważ punkty \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) na odcinkach \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\) takie, że \(\displaystyle{ XE=CE}\) oraz \(\displaystyle{ YF=CF}\)

[Nerchio123]

No nie widzę tego nadal, dochodzę do tego, że \(\displaystyle{ AX=AY}\), co dalej z tym zrobić?

[timon92]

zastanów się, dlaczego dwusieczne kątów CEB, DFC oraz BAD przecinają się w jednym punkcie

[Nerchio123]

Dobra, udało mi się, dziękuję.