Obliczanie boków prostokąta z przekątnej i proporcji

[samaramabezkol]

Siemanko,
jest lato i cholernie gorąco a mnie wzięło na matematykę. Chciałem policzyć boki prostokąta, wiedząc jaka jest przekątna i proporcje boków.

Dane:
\(\displaystyle{ d=120 cm}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{y} = \frac{16}{9}}\)

Zacząłem od wzoru \(\displaystyle{ d= \sqrt{x ^{2} y ^{2} }}\) lecz powychodziły głupoty.

Następnie spróbowałem najpierw policzyć pole a następnie z pola boki z wzoru
\(\displaystyle{ P=d^{2}\frac{w_{p} \cdot h_{p}}{w_{p}^{2}+h_{p}^{2}}}\)

Tutaj wyszły zbyt małe liczby aby to było realne.

Następny mój strzał poszedł w trygonometrie. Pomyślałem, że przekątna jest jednocześnie dwusieczną, chociaż nie jestem tego pewien.

A więc
\(\displaystyle{ \frac{90 ^{\circ}}{2} = 45 ^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \sin 45 ^{\circ} = \frac{y}{120}}\)
\(\displaystyle{ 0,7071 = \frac{y}{120}}\)
\(\displaystyle{ 84,852 = y}\)

Ten wynik jest najbardziej możliwy lecz drugi bok nie chce wyjść z trygonometrii bo cos 45 wynosi tyle samo co sin 45 więc wyszedłby kwadrat.

Można to jakoś obliczyć?

[szw1710]

Chciałem policzyć boki prostokąta, wiedząc jaka jest przekątna i proporcje boków.

Zastosuj twierdzenie Pitagorasa.

[Dilectus]

Hmm... spójrzmy:

Z tw. Pitagorasa wiemy, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=d^2}\)

zaś stosunek boków prostokąta jest równy \(\displaystyle{ k}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=k}\)

Trzeba więc rozwiazać układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=d^2 \\ \frac{x}{y}=k \end{cases}}\)

Zrób to, to dowiesz się, jakie są boki prostokąta \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

[Longines]

Na e-mail przesyłam, gotowca (wzór)

[bakala12]

Następny mój strzał poszedł w trygonometrie. Pomyślałem, że przekątna jest jednocześnie dwusieczną, chociaż nie jestem tego pewien.

A więc
\(\displaystyle{ \frac{90 ^{\circ}}{2} = 45 ^{\circ} \\
\sin 45 ^{\circ} = \frac{y}{120} \\
0,7071 = \frac{y}{120} \\
84,852 = y}\)

Ten wynik jest najbardziej możliwy lecz drugi bok nie chce wyjść z trygonometrii bo cos 45 wynosi tyle samo co sin 45 więc wyszedłby kwadrat.

Tak jest tylko dla szczególnego prostokąta czyli dla kwadratu. Dla pozostałych prostokątów nie jest to prawda. Warto może wspomnieć że pogrubiona przeze mnie własność jest własnością rombów.