Mamy dany trapez prostokątny \(\displaystyle{ ABCD}\) o kątach prostych \(\displaystyle{ \angle ABC =\angle BCD=90^{\circ}}\). Chodzi u udowodnienie, że okrąg o średnicy \(\displaystyle{ BC}\) ma dwa punkty wspólne z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ AD> AB+CD}\) oraz dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy \(\displaystyle{ AD=AB+CD}\).
Próbowałem wyliczyć odległość między środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), a prostą \(\displaystyle{ AD}\) za pomocą długości boków przez wielokrotne zastosowanie tw. Pitagorasa, ale wychodzą strasznie trudne rachunki.
Punkty wspólne okręgu i ramienia w trapezie prostokątnym
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Punkty wspólne okręgu i ramienia w trapezie prostokątnym
Przesuwaj odcinek \(\displaystyle{ AC}\) równolegle. Gdy jest on bardzo "na lewo" nie ma żadnego punktu styczności z okręgiem. Gdy przesuwamy go w prawo, suma |AB|+|DC| maleje, zaś |AD| się nie zmienia. W pewnym momencie ten przesuwany odcinek dotknie okregu w punkcie P. Wtedy |AP|=|AB|, |DP|=|DC| czyli |AD|=|AB|+|DC|. Gdy przesuwamy dalej w prawo mamy dwa punkty przecięcia i |AC|>|AB|+|DC| cbdo.