Punkty wspólne okręgu i ramienia w trapezie prostokątnym

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Punkty wspólne okręgu i ramienia w trapezie prostokątnym

Post autor: matmatmm »

Mamy dany trapez prostokątny \(\displaystyle{ ABCD}\) o kątach prostych \(\displaystyle{ \angle ABC =\angle BCD=90^{\circ}}\). Chodzi u udowodnienie, że okrąg o średnicy \(\displaystyle{ BC}\) ma dwa punkty wspólne z ramieniem \(\displaystyle{ AD}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ AD> AB+CD}\) oraz dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy \(\displaystyle{ AD=AB+CD}\).

Próbowałem wyliczyć odległość między środkiem boku \(\displaystyle{ BC}\), a prostą \(\displaystyle{ AD}\) za pomocą długości boków przez wielokrotne zastosowanie tw. Pitagorasa, ale wychodzą strasznie trudne rachunki.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Punkty wspólne okręgu i ramienia w trapezie prostokątnym

Post autor: a4karo »

Przesuwaj odcinek \(\displaystyle{ AC}\) równolegle. Gdy jest on bardzo "na lewo" nie ma żadnego punktu styczności z okręgiem. Gdy przesuwamy go w prawo, suma |AB|+|DC| maleje, zaś |AD| się nie zmienia. W pewnym momencie ten przesuwany odcinek dotknie okregu w punkcie P. Wtedy |AP|=|AB|, |DP|=|DC| czyli |AD|=|AB|+|DC|. Gdy przesuwamy dalej w prawo mamy dwa punkty przecięcia i |AC|>|AB|+|DC| cbdo.
ODPOWIEDZ