Punkty na płaszczyźnie

[ruduq7]

Z góry przepraszam jeśli dodałem do złego działu. Danych jest na płaszczyźnie \(\displaystyle{ n \ge 3}\) punktów, które nie leżą na tej samej prostej. Każdemu z nich przyporządkowano jakąś liczbę rzeczywistą. Jeśli poprowadzimy prostą przechodzącą przez co najmniej dwa spośród wybranych punktów, to suma liczb przypisanych punktom, które na niej się znajdują wynosi 0. Udowodnić, że wszystkie liczby wynoszą 0.

[kerajs]

Wartośc liczbową punktów oznaczę jako a,b,c,....... .
Niech prosta przechodzi tylko przez dwa punkty o wartościach a i b Z treści zadania wiem że \(\displaystyle{ a+b=0}\) stąd\(\displaystyle{ b=-a}\). Biorę prostą przechodzącą tylko przez dwa punkty o wartościach a i c. Stąd \(\displaystyle{ c=-a}\). Dla prostej przechodzącej tylko przez dwa punkty o wartościach c i b mam \(\displaystyle{ c+b=0}\). A wstawiając wcześniajsze zależności \(\displaystyle{ -a-a=0 \Rightarrow a=0 \Rightarrow b=0 \wedge c=0}\). Analogicznie można znaleźć wartości pozostałuch punktów.

[rafalpw]

Nie jest napisane, że żadne \(\displaystyle{ 3}\) punkty nie leżą na jednej prostej. Jest napisane jedynie, że wszystkie nie leżą na tej samej, więc nie można sobie dobrać takich prostych, że tylko \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) na niej leżą.

EDIT: sugerowałbym dowód indukcyjny

[kerajs]

Aaa...znów coś nie doczytałem. Czyli rozwiązałem trywialny przypadek że żadne trzy punkty nie sa współliniowe. Dzięki za czujność.

[Hydra147]

Wystarczy pokazać, że w każdym układzie istnieje co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) punkt o wartości zerowej. Wówczas możemy go usunąć, zmniejszając ilość zaznaczonych punktów o \(\displaystyle{ 1}\), a cecha zredukowanego układu postulowana w zadaniu nie zmieni się. Czyli możemy tak redukując punkty dojść do układu 3 punktów dla którego prawdziwość tezy została już udowodniona przez Kerajsa. Tylko teraz jak to pokazać...

[kropka+]

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy trzy punkty które nie mogą leżeć na jednej prostej, bo takie jest założenie w treści zadania. kerajs udowodnił, że wtedy wszystkie te punkty mają przypisane wartość \(\displaystyle{ 0}\), czyli

\(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Dodajemy czwarty punkt o wartości \(\displaystyle{ d}\). Nie może on leżeć na jednej prostej z pozostałymi trzema, bo te trzy są niewspółliniowe.

Rozpatrujemy dwa przypadki:
1. Punkt o wartości \(\displaystyle{ d}\) leży na jednej prostej z dwoma poprzednimi punktami, np. o wartościach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to zgodnie z warunkami zadania mamy

\(\displaystyle{ d+a+b=0 \Rightarrow d+0+0=0 \Rightarrow d=0}\)

2. Punkt nie leży na jednej prostej z dwoma z poprzednich punktów, czyli z każdym z nich wyznacza inną prostą . Wystarczy wziąć jedną z tych prostych

\(\displaystyle{ d+a=0 \Rightarrow d+0=0 \Rightarrow d=0}\)

A więc niezależnie od położenia czwartego punktu zachodzi \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\).

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla każdego kolejnego punktu. Po prostu do jego wartości będziemy dodawać tyle zer, z iloma punktami będzie on współliniowy i ta suma ma być zerem, więc wartość tego punktu też będzie zerem. Wszystkie punkty nigdy nie będą współliniowe, bo trzy pierwsze są niewspółliniowe.

[timon92]

kropka+, jesteś pewna, że to jest poprawnie? jedyne co pokazałaś to to, że jeśli mamy układ spełniający warunki zadania, to po dorzuceniu kolejnego punktu, musimy nadać mu wartość 0

a może istnieje układ punktów taki, że po usunięciu dowolnego punktu powstanie układ niespełniający założeń? (nie istnieje, bo zadanie jest poprawne, ale nie wynika to z Twojego rozumowania)

wskazówka:    

jeśli istnieje punkt, któremu przypisano wartość dodatnią, to suma wszystkich liczb jest ujemna

[kropka+]

kropka+, jesteś pewna, że to jest poprawnie? jedyne co pokazałaś to to, że jeśli mamy układ spełniający warunki zadania, to po dorzuceniu kolejnego punktu, musimy nadać mu wartość 0

To się nazywa indukcja matematyczna.

[timon92]

zastanów się nad tą Twoją indukcją, to jest zupełnie źle

[Hydra147]

Rozwiązanie kropki jest jak najbardziej chybione, aczkolwiek wskazówka timona też nie mówi za dużo. Mógłbyś rozjaśnić?

[timon92]

wskazówka 2:    

a jeśli istnieje punkt, któremu przypisano wartość ujemną, to suma wszystkich liczb jest dodatnia

[Hydra147]

Nie zrozumieliśmy się . Wiem w jaki sposób ta wskazówka pociąga za sobą tezę zadania tylko nie za bardzo wiem jak mam ją udowodnić.

[timon92]

Ukryta treść:    

weź punkt, któremu przypisano dodatnią liczbę, poprowadź wszystkie możliwe proste przez ten punkt i skorzystaj z warunku, że suma liczb na każdej prostej wynosi 0