Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
exaroth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 7 lip 2013, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 13 razy

Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Post autor: exaroth »

Witam serdecznie,

Mam mały problem z jednym zadaniem, który nie daje mi spać po nocach .

W trójkąt równoboczny o krawędzi a wpisano drugi prostokątny trójkąt w taki sposób, że jego wierzchołki leżą na bokach pierwszego i dzielą każdy z nich w stosunku 1:2. Oblicz pole tego trójkąta.

Dodaję rysunek mojego autorstwa:


Jak dla mnie jedna z przyprostokątnych tego trójkąta będzie miała dlugość \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a}\), a przeciwprostokątna \(\displaystyle{ \frac{2}{3}a}\) bo boki przeległe do tych boków mają odpowiednio długości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}a}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}a}\) a kąt między nimi to \(\displaystyle{ 60\circ}\). stąd z Tw Pitagorasa druga przyprostokątna będzie miała długość \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}a}\) więc pole to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{18}a^2}\). Tyle że w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{12}a^2}\). Wiem, że gdzieś jest błąd bo kiedyś robiłem już to zadanie i wychodziło dobrze tylko zapomniałem już gdzie był myk aby to rozwiązać .

Bardzo proszę o pomoc
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1897
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 512 razy

Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Post autor: mdd »

exaroth pisze:W trójkąt równoboczny o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) wpisano drugi prostokątny trójkąt w taki sposób, że jego wierzchołki leżą na bokach pierwszego i dzielą każdy z nich w stosunku 1:2. Oblicz pole tego trójkąta.
Nie wiem z jakich twierdzeń możesz korzystać, ale najogólniej taki problem rozwiązujemy w dwóch krokach:
1) W celu obliczenia długości boków trójkąta wpisanego trzykrotnie stosujemy twierdzenie cosinusów.
2) Aby obliczyć pole trójkąta wpisanego można zastosować wzór Herona.
exaroth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 7 lip 2013, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 13 razy

Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Post autor: exaroth »

1) Z twierdzenia cosinusów skorzystałem -- wyszło to samo
2) Trójkąt wpisany jest prostokątny więc nie ma potrzeby korzystania ze wzoru Herona
Awatar użytkownika
mdd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1897
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 10:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 512 razy

Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Post autor: mdd »

exaroth pisze:2) Trójkąt wpisany jest prostokątny więc nie ma potrzeby korzystania ze wzoru Herona
Zgoda. Ja miałem na myśli przypadek ogólny, tzn. wtedy kiedy wierzchołki trójkąta wpisanego znajdują w dowolnym miejscu na bokach trójkąta "głównego".
exaroth pisze: więc pole to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{18}a^2}\). Tyle że w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{12}a^2}\)
W takim razie w odpowiedziach jest błąd. Twój wynik jest poprawny.

-- 5 lip 2014, o 10:53 --

Jeśli masz wątpliwości co do swojego wyniku, to możesz jeszcze inaczej rozwiązać swoje zadanie.

Skorzystaj z tego, że pole dużego trójkąta jest równe sumie pól czterech trójkątów.
Dla każdego z małych trójkątów zastosuj wzór na pole trójkąta postaci \(\displaystyle{ "\frac{1}{2}ab\sin\gamma"}\)
exaroth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 7 lip 2013, o 10:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 13 razy

Trójkąt prostokątny wpisany w trójkąt równoboczny

Post autor: exaroth »

Rzeczywiście korzystając z tej metody też wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{18}}\). Dałbym sobie rękę uciąć że kiedyś wyszło mi tyle co w odpowiedziach, Tak czy tak bardzo dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ