środek ciężkości

[R33]

Witam czy pomógłby mi ktoś obliczyć środek ciężkości takiego elementu:

AU

99qdl1.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 125 razy

Jest to odpowiednio stożek o wysokości h i podstawie o promieniu R, oraz półkula o promieniu R. Środki ciężkości tych figur znam odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{4} h}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{8} R}\).

[kerajs]

Skoro znasz środki ciężkości obu figur to środek ciężkości całej figury bedzie leżał na prostej je łączącej . Konkretny ponkt wyznaczasz z równania:
\(\displaystyle{ m _{1} x _{1}=m _{2} x _{2} \wedge d=x _{1}+v _{2}}\)
gdzie m1 i m2 to masy obu brył (Ty masz bryłę wykonaną z jednorodnego materiału (o stałej gęstości) więc masa jest proporcjonalna do objętości )
a x1, i x2 to odległość środka ciężkości pojedyńczych brył od środka ciężkości całej bryły,
d - to odległość między środkami ciężkości brył składowych.

Spróbujesz to obliczyć?

Ile wynosi d ?
Ile wynoszą objętości Twoich brył składowych ?

wiesz że:
\(\displaystyle{ m _{1} x _{1}=m _{2} x _{2}}\)
\(\displaystyle{ \rho V _{1} x _{1}=\rho V _{2} x _{2}}\)
\(\displaystyle{ V _{1} x _{1}= V _{2} x _{2}}\)
Ile wynoszą x1, x2 ?

Gdzie jest punkt cięzkości ?

[R33]

Ile wynosi d ?

Tu nie wiem za bardzo:
\(\displaystyle{ d = \frac{3}{8}R + \frac{1}{4}h}\)
?

Ile wynoszą objętości Twoich brył składowych ?

stożka - \(\displaystyle{ V_{1} = \frac{1}{3} \pi \cdot R^{2} \cdot h}\)
półkuli - \(\displaystyle{ V_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3}}\)

Dalej nie wiem już jak liczyć.

[kerajs]

Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \pi R ^{2} h \cdot x _{1} = \frac{2}{3} \pi R ^{3} \cdot x _{2}}\)
\(\displaystyle{ h \cdot x _{1} = 2 R \cdot x _{2}}\)
wiesz też że
\(\displaystyle{ x _{1} + x _{2}=d}\)
czyli \(\displaystyle{ x _{2}=d-x _{1}= \frac{3}{8} R+ \frac{1}{4}h -x _{1}}\)
co wstawia sie do poprzedniego równania
\(\displaystyle{ h \cdot x _{1} = 2 R \cdot \left( \frac{3}{8} R+ \frac{1}{4}h -x _{1}\right)}\)
I teraz oblicz x1 co jest odległością środka ciężkości bryły od środka ciężkości stożka.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{2 R \cdot \left( \frac{3}{8} R+ \frac{1}{4}h \right) }{h+2R}}\)

[R33]

Ale teraz mamy tylko odległości poszczególnych środków ciężkości brył, a ile wynosi sam środek ciężkości?

[kruszewski]

Ja to robię tak jakbym szukał bieguna redukcji sił równoległych. Z równania momentów mam:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \frac{ \pi r^2}{2}(h+ \frac{4r}{3 \pi })+ \frac{2}{3}rh^2 }{ \frac{ \pi r^2}{2}+r \cdot h }}\)
i jest to odległość zaznaczona przez x na szkicu.
h jest oczywista znaną wysokością stożka.

W.Kr.