Figura wpisana w kwadrat

[exaroth]

Witam serdecznie,

mam następujące zadanie do rozwiązania, z którym nie bardzo wiem jak sobie poradzić.

Boki kwadratu podzielono na części w stosunku m i n, przy czym w każdym wierzchołku stykają się jeden mniejszy i jeden większy odcinek. Kolejne punkty podziału połączono odcinkami. Znajdź pole otrzymanego czworokąta jeśli bok danego kwadratu wynosi a.

No i teraz mam problem, bo jak dla mnie to ten czworokąt to kwadrat o polu \(\displaystyle{ m^2 + n ^2}\),
podczas gdy w odpowiedziach mam :

\(\displaystyle{ P = \frac{m^2 + n^2}{\left(m + n\right)^2}a^2}\).

Ktoś ma pomysł gdzie leży mój błąd.

Z góry dziękuję.

[mortan517]

\(\displaystyle{ m+n=a}\), więc zarówno twoja odpowiedź jak i książkowa są takie same.

[exaroth]

No tak ale po podstawieniu do wzoru \(\displaystyle{ a = m + n}\):
\(\displaystyle{ m = a - n}\)
i
\(\displaystyle{ n = a - m}\)
otrzymuję wzór
\(\displaystyle{ P = 2a^2 + n^2 + m^2 - 2an - 2am}\).
Jak dojść stąd do tego wzoru z odpowiedzi?

[Michalinho]

Twoja odpowiedź jest poprawna tylko dla kwadratu o boku \(\displaystyle{ m+n}\). Skoro te odcinki są w stosunku \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\), więc \(\displaystyle{ P=m^2 x^2 +n^2 x^2, \ a=xm+xn \Rightarrow P=x^2(m^2 +n^2), \ x=\frac{a}{m+n}}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ P=\left(\frac{a}{m+n}\right)^2 \cdot(m^2+n^2)=a^2 \frac{m^2+n^2}{(m+n)^2}}\)

[exaroth]

O kurczę, rzeczywiście, dziękuję serdecznie za pomoc.