prosta i punkty - dowod

[alfred0]

Czy ktos moglbym w prosty sposob przedstawic dowod tego:
Mamy n punktow na plaszczyznie, niewspoliniowych. Pokaz ze istnieje prosta przechodzaca przez doklsdnie dwa z tych punktow.

[szw1710]

Zastanów się nad tym co napisałeś i podaj poprawnie treść zadania.

[porfirion]

Pewnie chodziło o dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) XD

[alfred0]

Pewnie chodziło o dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) XD

Tak, juz poprawiam

[Ponewor]

Załóżmy nie wprost, że na każdej prostej przez dowolne dwa z tych punktów leży trzeci. Ponieważ nie wszystkie punkty są współliniowe, możemy sobie rozważyć skończony zbiór trójkątów o wierzchołkach w tych punktach. Możemy też rozważyć skończony zbiór wysokości tych trójkątów. Skoro jest skończony, to weźmy najkrótszą z tych wysokości - wysokość \(\displaystyle{ AH}\) w trókącie \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Z założenia, na prostej \(\displaystyle{ BC}\) leży trzeci punkt \(\displaystyle{ D}\). Bez straty ogólności, niech \(\displaystyle{ D}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AH}\) co punkt \(\displaystyle{ C}\). Teraz możemy sobie bez straty ogólności rozumowania wybrać który z punktów \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) leży bliżej \(\displaystyle{ H}\). Niech będzie to \(\displaystyle{ D}\). Niech \(\displaystyle{ D'}\) i \(\displaystyle{ H'}\) będą rzutami punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ H}\) na prostą \(\displaystyle{ AC}\). Skoro \(\displaystyle{ \left| HC\right| >\left| DC\right|}\), to z oczywistego podobieństwa \(\displaystyle{ \left| HH'\right| >\left| DD'\right|}\). A ponieważ w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle HH'A}\) odcinek \(\displaystyle{ AH}\) jest przeciwprostokątną, to \(\displaystyle{ \left| AH\right| >\left| HH'\right|}\) i w rezultacie \(\displaystyle{ \left| AH\right| >\left| DD'\right|}\), czyli w trójkącie \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) istnieje wysokość o długości mniejszej od wysokości \(\displaystyle{ AH}\) wbrew wyborowi tej wysokości. Uzyskana sprzeczność kończy dowód.

[alfred0]

Dzieki a jak zrobic ten dowod gdy C lezy blizej H niz D?

[Ponewor]

Teraz rzutujemu punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ H}\) na prostą \(\displaystyle{ AD}\) i patrzymy na wysokość \(\displaystyle{ CC'}\).