dowod z okregami

[alfred0]

Rozwazmy zbior monet na plaszczyznie, wszystkie o roznych srednicach. Pokaz ze jedna z nich jest styczna do co najwyzej 5 innych.

[porfirion]

Nie wprost: wszystkie okręgi są styczne do min. \(\displaystyle{ 6}\) innych. Wybieramy najmniejszy o środku \(\displaystyle{ O_{X}}\). Niech będzie on styczny do okręgów o środkach \(\displaystyle{ O_{A}}\) i \(\displaystyle{ O_{B}}\).
Zauważ, że kąt \(\displaystyle{ O_{A}O_{X}O_{B}> \frac{ \pi }{3}}\).
Ale to rozwiązanie nie działa gdy monet jest nieskończenie wiele...

[Ponewor]

No bo wiadomo, że dla nieskończenie wielu teza prawdziwa nie jest - możemy sobie swobodnie doklejać te styczne okręgi gdzie nam się tylko podoba, potem doklejać coraz mniejsze do tych doklejonych.

[alfred0]

Sory. Tych monet jest skonczona ilosc
Czemu ten kat jest wiekszy niz 60 stopni?

[porfirion]

Np. dlatego, że jeśli te wszystkie trzy rozważane okręgi nie są styczne, to coraz bardziej zbliżając te o środkach \(\displaystyle{ O_{A}}\) i \(\displaystyle{ O_{B}}\) kąt \(\displaystyle{ O_{A}O_{X}O_{B}}\) się zmniejsza. Wystarczy więc gdy rozważymy sytuacje gdy wszystkie one są parami styczne. Wtedy Odcinek \(\displaystyle{ O_{A}O_{B}}\) jest najdłuższym bokiem trójkąta \(\displaystyle{ O_{A}O_{X}O_{B}}\) więc kąt \(\displaystyle{ O_{A}O_{X}O_{B}}\) jest największy co implikuje, że jest większy od 60 stopni.

[alfred0]

Ok i jak dalej cos kombinowalem z tw cosinusow ale nie widze zadnych wnioskow

[porfirion]

No... Jeśli na każdą parę takich stycznych okręgów traci więcej niż \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\), a ma w sumie \(\displaystyle{ 2 \pi}\) to gdyby takich par było \(\displaystyle{ 6}\) to coś by się nie zsumowało...