wzory na wielokaty
-
kwiatek1414
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 11 wrz 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 1 raz
wzory na wielokaty
Mógłby mi ktoś podać wzór, bo nigdzie nie moge znależć na pole pięciokąta i sześciokata wpisanego i opisanego na okręgu?
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
wzory na wielokaty
Zawsze można sobie wyprowadzić, ale trochę roboty z tym będzie.
Jeżeli masz podany promień okręgu \(\displaystyle{ r}\), to pole
- sześciokąta wpisanego w okrąg: 6 trójkątów równobocznych o boku długości \(\displaystyle{ r}\)
- sześciokąta opisanego na okręgu: 6 trójkątów równobocznych o wysokości długości \(\displaystyle{ r}\)
- pięciokąta wpisanego w okrąg: 5 trójkątów równoramiennych o ramionach długości \(\displaystyle{ r}\), możesz obliczyć pole jednego, bo znasz długości ramion i kąta między nimi
- pięciokąta opisanego na okręgu: 5 trójkątów równoramiennych o wysokości długości \(\displaystyle{ r}\), boki jednego dałoby się wyliczyć z tw. sinusów, bo znasz wszystkie kąty
Jeżeli masz podany promień okręgu \(\displaystyle{ r}\), to pole
- sześciokąta wpisanego w okrąg: 6 trójkątów równobocznych o boku długości \(\displaystyle{ r}\)
- sześciokąta opisanego na okręgu: 6 trójkątów równobocznych o wysokości długości \(\displaystyle{ r}\)
- pięciokąta wpisanego w okrąg: 5 trójkątów równoramiennych o ramionach długości \(\displaystyle{ r}\), możesz obliczyć pole jednego, bo znasz długości ramion i kąta między nimi
- pięciokąta opisanego na okręgu: 5 trójkątów równoramiennych o wysokości długości \(\displaystyle{ r}\), boki jednego dałoby się wyliczyć z tw. sinusów, bo znasz wszystkie kąty
-
kwiatek1414
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 11 wrz 2010, o 19:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 1 raz
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
wzory na wielokaty
1) Sześciokąt wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ P_1=6 \cdot \frac{r^2\sqrt3}{4}}\)
2) Sześciokąt opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie bokiem jednego z trójkątów. Znamy wysokość \(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt3}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ a= \frac{2r}{\sqrt3}}\).
\(\displaystyle{ P_2=6 \cdot \frac{\left(\frac{2r}{\sqrt3} \right)^2 \sqrt3}{4}}\)
3) Pięciokąt wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Mamy 5 trójkątów równoramiennych o ramionach \(\displaystyle{ r}\) i kącie między nimi \(\displaystyle{ \frac{360^\circ}{5}=72^\circ}\).
\(\displaystyle{ P_3=5 \cdot \frac{1}{2}r^2\sin 72^\circ}\)
4) Pięciokąt opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Mamy 5 trójkątów równoramiennych o wysokości \(\displaystyle{ r}\). Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie połową podstawy jednego z nich. Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ r,x}\) i kątach \(\displaystyle{ 36^\circ}\), \(\displaystyle{ 90^\circ-36^\circ=54^\circ}\). Z twierdzenia sinusów: \(\displaystyle{ \frac{r}{\sin 54^\circ}= \frac{x}{\sin 36^\circ}}\), stąd \(\displaystyle{ x= \frac{r\sin 36^\circ}{\sin 54^\circ}}\).
\(\displaystyle{ P_4=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot 2x=5r^2 \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 54^\circ}}\)
\(\displaystyle{ P_1=6 \cdot \frac{r^2\sqrt3}{4}}\)
2) Sześciokąt opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie bokiem jednego z trójkątów. Znamy wysokość \(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt3}{2}}\), stąd \(\displaystyle{ a= \frac{2r}{\sqrt3}}\).
\(\displaystyle{ P_2=6 \cdot \frac{\left(\frac{2r}{\sqrt3} \right)^2 \sqrt3}{4}}\)
3) Pięciokąt wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Mamy 5 trójkątów równoramiennych o ramionach \(\displaystyle{ r}\) i kącie między nimi \(\displaystyle{ \frac{360^\circ}{5}=72^\circ}\).
\(\displaystyle{ P_3=5 \cdot \frac{1}{2}r^2\sin 72^\circ}\)
4) Pięciokąt opisany na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
Mamy 5 trójkątów równoramiennych o wysokości \(\displaystyle{ r}\). Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie połową podstawy jednego z nich. Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ r,x}\) i kątach \(\displaystyle{ 36^\circ}\), \(\displaystyle{ 90^\circ-36^\circ=54^\circ}\). Z twierdzenia sinusów: \(\displaystyle{ \frac{r}{\sin 54^\circ}= \frac{x}{\sin 36^\circ}}\), stąd \(\displaystyle{ x= \frac{r\sin 36^\circ}{\sin 54^\circ}}\).
\(\displaystyle{ P_4=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot 2x=5r^2 \cdot \frac{\sin 36^\circ}{\sin 54^\circ}}\)