czworokat wpisany w okrag

[alfred0]

Pokaz ze jesli czworokat ABCD jest wpisany w okrag, to suma promieni okregow wpisanych w trojkty ABC,ACD jest rowna sumie promieni opisanych okregow na trojkatach BCD,BAD.

[porfirion]

Rozumiem, że miało być "[...]wpisanych w trójkąty BCD,BAD."
Zachodzi ogólniejsze: Dany wypukły n-kąt \(\displaystyle{ A_{1} A_{2}... A_{n}}\) wpisany w okrąg. Poprowadzono w nim \(\displaystyle{ n-3}\) przekątne dzielące go na \(\displaystyle{ n-2}\) trójkąty. Wykazać, że suma okręgów weń wpisanych nie zależy od podziału wielokąta.
Dowód opiera się na zastosowaniu fajnego lematu i jego lekko zmienionej wersji dla trójkątów rozwartokątnych.
LEMAT: Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) są środkami kolejnych boków \(\displaystyle{ ABC}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ OK +OL + OM= R+r}\) gdzie \(\displaystyle{ R,r}\) to promienie okręgu opisanego i wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\).
Lemat dowodzi się z twierdzenia ptolemeusza. Miłej zabawy!

[bakala12]

Generalnie lemat przytoczony przez porfiriona nazywa się twierdzeniem Carnota, zaś fakt przytoczony wyżej można znaleźć na przykład tutaj:
... swiatynna/