pole trapezu

[alfred0]

Trzy boki trapezu maja dlugosc 1 kazdy. Jakie moze byc maksymalne pole tego trapezu ?

[mortan517]

Uzależnij pole od jednej zmiennej.

Wprowadź oznaczenia (np.): podstawa dolna - \(\displaystyle{ a}\) oraz wysokość \(\displaystyle{ H}\)

Wtedy pole wynosi:

I z Pitagorasa policz zależność między \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ H}\)

[alfred0]

No tak ale wogole nie wiem jaki bedzie rysunek do tego , mi wychodzi kwadrat

[mortan517]

Może tak będzie, ale na razie jeszcze tego nie wiesz. Narysuj normalny trapez równoramienny.

[Hydra147]

Trzeba dodać, że najpierw wypadałoby to rozbić na 2 przypadki. Najpierw rozważamy trapez, w którym obie podstawy i jedno ramię mają po 1 (tu akurat łatwo wykazać, że maksymalne pole to 1). Drugi przypadek (trapez równoramienny) jest już ciekawszy.

[mortan517]

odp:    

Według mnie \(\displaystyle{ a=2}\), chyba, że pomyliłem się przy liczeniu pochodnej.

[Hydra147]

Tak, trapez musi mieć przy podstawie kąty 60st. (ja to zrobiłem z trygonometrii).

[Zahion]

Można też zrobić to zadanie bez jakichś rysunków, korzystając ze wzoru Brahmagupty. Pole to będzie wynosiło \(\displaystyle{ S = \frac{1}{4} \sqrt{(x+1) ^{3}(3-x) }}\) w zależności od \(\displaystyle{ x}\), gdzie jest to nasz ostatni szukany bok. Oczywiście maksymalną wartość przyjmuje dla \(\displaystyle{ x = 2}\)