Wykaż, że pole części danego kwadratu ...

[kolanko]

kwadrat o boku dlugosci a podzielono prostymi rownoleglymi do jego bokow na \(\displaystyle{ n^{2}}\) przystajacych kwadracikow (o boku dlugosci \(\displaystyle{ \frac{a}{n}}\) ). w kazdy z tych kwadracikow wpisano kolo. Wykaż, że pole części danego kwadratu nie pokrytej kołami nie zależy od n

[Tristan]

Długość promienia koła wpisanego w kwadracik to połowa długości boku tego kwadracika, czyli \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2} \frac{a}{n}=\frac{a}{2n}}\). Pole koła to \(\displaystyle{ P= \pi r^2= \pi \frac{a^2}{4n^2}}\). Pole jednego kwadracika niepokrytego kołem to różnica pola kwadracika i pola koła, czyli \(\displaystyle{ P_{kw} - P= \frac{a^2}{n^2} -\pi \frac{a^2}{4n^2}= \frac{a^2}{n^2} (1- \frac{ \pi}{4})}\). Poniewaz kwadracików jest \(\displaystyle{ n^2}\), więc pole całego kwadratu niepokrytego kołami wynosi \(\displaystyle{ n^2 (P_{kw}-P)=n^2 \frac{a^2}{n^2} (1- \frac{ \pi}{4})=a^2 (1- \frac{ \pi}{4} )}\).