Problem matematyczny - okrąg opisany na 5-kącie NIEforemnym

[chlopina]

Jakie warunki muszą zostać spełnione, aby na takim pięciokącie wypukłym można było opisać okrąg? Tylko nie konstrukcyjne tzn. rysowanie symetralnych. Chodzi o takie warunki jak np. w czworokącie w którym suma przeciwległych kątów musi wynosić 180st.

[Hydra147]

Powiem tak. Warunkiem koniecznym, by na 2n-kącie foremnym można było opisać okrąg jest to, że po ponumerowaniu wierzchołków po kolei od 1 do 2n suma kątów wewnętrznych w wierzchołkach o numerach parzystych musi być równa sumie kątów wewnętrznych w wierzchołkach o numerach nieparzystych. Niestety pięciokąt nie ma parzystej liczby boków, więc na niego nie mam pomysłu. Nie wiem też czy warunek wyżej podany jest wystarczający ale wydaje mi się, że tak.

[norwimaj]

Nie wiem też czy warunek wyżej podany jest wystarczający ale wydaje mi się, że tak.

Czyli twierdzisz, że jeśli sześciokąt ma środek symetrii, to automatycznie można na nim opisać okrąg?

1.jpg (13.9 KiB) Przejrzano 699 razy

-- 31 maja 2014, o 23:13 --

Na pięciokącie \(\displaystyle{ ABCDE}\) można opisać okrąg wtw na czworokątach \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ ABCE}\) można opisać okręgi. Jeśli potrzebujesz ambitniejszych stwierdzeń, to niestety nie pomogę.

[chlopina]

Tak wszedłem tutaj po 4 miesiącach i liczyłem, że ktoś coś powie Czy naprawdę nie możne określić takich warunków?

[norwimaj]

Czy naprawdę nie możne określić takich warunków?

Można sformułować różne warunki równoważne temu, że na pięciokącie da się opisać okrąg. Jednak według mnie takie zadanie samo w sobie jest poniżej godności człowieka.

[Bierut]

Trafiłem na ten stary temat poprzez google, szukając innych własności wielokątów wpisanych i opisanych na wielokątach. Nie ma odpowiedzi, więc chyba warto, żeby taką zamieścić, nawet po latach, bo może ktoś inny trafi tu i znajdzie odpowiedź.

Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie niewypukłym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego.

Kod: Zaznacz cały

pl.wikipedia.org/wiki/Okr%C4%85g_opisany_na_wielok%C4%85cie

[arek1357]

Rozsądna i rzeczowa odpowiedź, a dlatego to piszę, że wcześniej zobaczyłem coś takiego:

Można sformułować różne warunki równoważne temu, że na pięciokącie da się opisać okrąg. Jednak według mnie takie zadanie samo w sobie jest poniżej godności człowieka.

Ten warunek nazywa się matematyczną bufonadą, a skomentowałem to tylko dlatego, że autor tego posta uchodził w moich oczach za dość ambitną postać w kwestiach matematycznych...

Do dzisiaj...