Wzór na odległość z dowolnego punktu cięciwy do okręgu

[slawuuuu]

Ponieważ to mój pierwszy post więc chciałbym jednocześnie przywitać się i poprosić o pomoc. Z góry uprzedzam, iż jako „Jaś” Królowa Nauk nie miała we mnie wdzięcznego ucznia, jednak problem z jakim mam zagwostkę jest kłopotem dla kilku innych moich znajomych do których się zwróciłem o pomoc, a którzy z matematyką mają więcej wspólnego.
Do sedna – chcę stworzyć arkusz kalkulacyjny w który będzie wyliczał automatycznie odległość od cięciwy do okręgu w zależności od odległości pomiędzy początkiem i końcem cięciwy – dane to długość cięciwy i wysokość od środka cięciwy do okręgu, chodzi mi oczywiście o odległości przy kącie prostym do cięciwy. Wydaje mi się, że kluczowym elementem w tym jest sam wzór za pomocą którego można by było obliczyć wspomnianą odległość – pytanie czy taki wzór istnieje?
Z góry dziękuję za pomoc i ewentualne sugestie.
slawuuuu

[Kartezjusz]

Wysokość środka cięciwy od okręgu...
Chodzi Ci o promień?

[slawuuuu]

Dla zobrazowania podam przykład: długość cięciwy to 200 cm, odległość od środka cięciwy do okręgu pod kątem prostym do cięciwy to 20 cm, znając te wartości chcę obliczyć jaka jest odległość na 30 centymetrze cięciwy do okręgu, również pod katem prostym. To jest przykład ale chodzi o stworzenie w arkuszu narzędzia do obliczania wysokości z dowolnego punktu cięciwy.

[mortan517]

AU

vmh7nIZ.png (6.4 KiB) Przejrzano 313 razy

Chodzi o coś takiego? Cała cięciwa ma \(\displaystyle{ 200}\), a ty chcesz obliczyć \(\displaystyle{ x}\)?

[slawuuuu]

Tak

[mortan517]

Przyznam, że potrafię obliczyć \(\displaystyle{ x}\) dla konkretnego przypadku, ale z funkcją nie mam pomysłu.

W przypadku na obrazku wychodzi mi \(\displaystyle{ x=10\left( \sqrt{595}-24 \right) \approx 3,93}\)

Edit: Moment coś mi zaskoczyło:

\(\displaystyle{ (100-a)^2 + (240+x)^2 = (260)^2}\)

To jest to, \(\displaystyle{ a}\) to jest ta odległość na cięciwie, a \(\displaystyle{ x}\) to wysokość.

Sprawdź dla pewności dla \(\displaystyle{ a \in \left\{ 0,100,200\right\}}\)

[slawuuuu]

Sorry za dyletantyzm ale z kąt wzięły się nam wartości 240 i 260 z ostatniego wzoru?

[mortan517]

AU

pKQpqZ9.png (6.93 KiB) Przejrzano 313 razy

Tutaj obrazek jak doszedłem do tamtego wzoru:
\(\displaystyle{ (100-a)^2 + (240+x)^2 = (260)^2}\)

Po przekształceniach i założeniach \(\displaystyle{ x,a>0}\) uzyskujemy:

\(\displaystyle{ x= \sqrt{(a+160)(360-a)} -240}\)

A co do \(\displaystyle{ 260}\) jest to promień tego okręgu, który wyliczyłem osobno (troszkę to zataiłem).

[slawuuuu]

ok ale z tego co widzę to mamy tu wzór dla konkretnego przykładu a mi chodzi o coś uniwersalnego do zaadaptowania w arkusz kalkulacyjnym dzięki któremu po wpisaniu długości cięciwy, wysokości i odległości od początku cięciwy do danego punktu arkusz obliczałby nam poszukiwaną odległość

[mortan517]

Ahaa, myślałem, że tylko od odległości od początku cięciwy. Dobrze w takim razie zrobię nowy rysunek i zedytuję ten post za moment.

edit:

AU

mOkTH9L.png (5.76 KiB) Przejrzano 313 razy

AU

7kM4AWr.png (10.16 KiB) Przejrzano 313 razy

Skoro \(\displaystyle{ c,d}\) są dane to wyliczymy z pitagorasa \(\displaystyle{ R}\), a następnie znowu pitagoras, żeby uzależnić \(\displaystyle{ a}\) od \(\displaystyle{ x}\).

[slawuuuu]

aż się boję o to poprosić, ale jak Jaś nie był pilny to Jan chciałby prosić o kwintesencję w postaci wzoru/wzorów

[mortan517]

Z pierwszego:
\(\displaystyle{ R^2 = (R-d)^2 + (0,5c)^2 \\ \frac{c^2}{4} + R^2 - 2Rd + d^2 = R^2 \\ c^2 - 8Rd + 4d^2=0 \\ R= \frac{4d^2 + c^2}{8d}}\)

Z drugiego:
\(\displaystyle{ (R-d+x)^2 + \left( \frac{c}{2} - a\right) ^2 = R^2 \\ R-d+x= \sqrt{R^2 - \left( \frac{c}{2} - a\right) ^2} \\ x=\sqrt{R^2 - \left( \frac{c}{2} - a\right) ^2} + d -R}\)

[slawuuuu]

ok wielkie dzięki, jutro spróbuję wrzucić to do arkusza i zobaczymy jak to będzie wychodzić.

-- 27 maja 2014, o 12:39 --

o ile z pierwszego wzoru wychodzi mi taka sama wartość to z drugim jest chyba coś nie tak. Zakładając jako d=20 i c=200 to r=260. Przyjmując przykładowo a=10 to otrzymujemy x=243,4337... co jest nierealne ponieważ x musi się zawierać w przedziale od 0 do 20 - dla tego przykładu-- 27 maja 2014, o 15:48 --o ile z pierwszego wzoru wychodzi mi taka sama wartość to z drugim jest chyba coś nie tak. Zakładając jako d=20 i c=200 to r=260. Przyjmując przykładowo a=10 to otrzymujemy x=243,4337... co jest nierealne ponieważ x musi się zawierać w przedziale od 0 do 20 - dla tego przykładu

[mortan517]

Musisz coś źle liczyć.

\(\displaystyle{ 243,4}\) wychodzi z tego pod pierwiastkiem a po dodaniu \(\displaystyle{ d}\) i odjęciu \(\displaystyle{ R}\) mamy około \(\displaystyle{ 3,4}\).

\(\displaystyle{ x=\sqrt{R^2 - \left( \frac{c}{2} - a\right) ^2} + d -R}\)