Dowód wzoru Picka

[pawelostr]

Witajcie,

Mam mały problem ze zrozumieniem dowodu tego wzoru, a dokładniej jednej jego linijki (

\(\displaystyle{ b_{PT}=(b_{P}+b_{T})-2(c-2)-2}\) (mam nadzieję że poprawnie zapisałem)

więc, zastanawia mnie skąd się wzięło to \(\displaystyle{ -2}\) na końcu tego wyrażenia. Cały wzór jest w linku do wikipedii (koniecznie po angielsku)

Z góry dzięki za pomoc

[norwimaj]

W wyrażeniu \(\displaystyle{ (b_{P}+b_{T})}\) końce wspólnego boku wielokąta i trójkąta pojawiają się dwukrotnie, więc łącznie naliczyłeś ich \(\displaystyle{ 4}\) zamiast \(\displaystyle{ 2}\). Ostatni wyraz koryguje ten błąd.

[pawelostr]

Dzięki za pomoc

Jeszcze miałbym tylko pytanie, skąd tu się bierze od razu ten wzór w miejscu \(\displaystyle{ A _{P}+A _{T}}\), (bo muszę to wytłumaczyć na forum klasy, i muszę mieć jakiś sensowny powód )

\(\displaystyle{ A _{PT}=A _{P}+A _{T}}\)
\(\displaystyle{ A _{PT}=(i _{P}+b _{P}/2-1)+(i _{T}+b _{T}/2-1)}\)

[kropka+]

To jest suma pól wielokąta i trójkąta (oba liczone ze wzoru Picka).

[pawelostr]

To jest suma pól wielokąta i trójkąta (oba liczone ze wzoru Picka).

Jakby to powiedzieć... Domyśliłem się że jest to wzór Picka, \(\displaystyle{ A_{PT}}\) to suma pól całego wielokąta. Tylko chodzi mi o to, że skoro dowodzimy tego wzoru, to jest to (przynajmniej dla mnie, możliwe że jest to związane z moim poziomem matematyki ) dziwne, że ów wzór pojawia się w swoim własnym dowodzie... Bo skąd on może się tam wziąć, skoro nie wiemy (teoretycznie) że on jest poprawny?

edit:

I tak jak napisałem, potrzebuję jakiegoś sensownego powodu, albo rozwinięcia, bo muszę to przedstawić innym osobom

[norwimaj]

Czy widziałeś już kiedyś jakieś dowody indukcyjne? Jeśli nie, to będzie ciężko Ci to wytłumaczyć.

[pawelostr]

Zacytuję sam siebie, że mój poziom matematyki jest jeszcze nie za wysoki jeśli będzie ciężko tłumaczyć, to nie ma sensu, tylko strata czasu, a i tak ja później nie będę w stanie tego dobrze wytłumaczyć, a bez tego tłumaczenie mi mija się z celem.

Ale wracając, dzięki za pomoc, bo prośba w temacie rozwiązana, a o to mi głównie chodziło

[norwimaj]

Ale jednak spróbuję wyjaśnić ideę dowodu.

1. Każdy wielokąt można rozciąć na trójkąty, których wierzchołki są wierzchołkami wielokąta. Jest to nieoczywisty, ale dobrze znany fakt.

2. Dla każdego trójkąta z osobna jest prawdziwy wzór Picka, co w cytowanym dowodzie jest wyjaśnione na końcu.

3. Jeśli połączymy dwa trójkąty spełniające wzór Picka, otrzymując czworokąt, to ten czworokąt też spełnia wzór Picka.
Jeśli połączymy czworokąt i trójkąt, spełniające wzór Picka, otrzymując pięciokąt, to ten pięciokąt też spełnia wzór Picka, itd.
Ta część dowodu nazywana jest krokiem indukcyjnym.


Istnieje też bardziej obrazowy dowód wzoru Picka: 39985,1500.htm#p5178641