oblicz długość odcinka

[Jozekban]

W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) o kącie prostym o wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) obrano taki punkt \(\displaystyle{ P}\), że pola trójkątów \(\displaystyle{ PAB}\), \(\displaystyle{ PBC}\) i \(\displaystyle{ PAC}\) są równe. Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ \left| PC\right|}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \left| PA\right|^2 + \left| PB\right|^2 =m}\)
\(\displaystyle{ a,b,c}\) - boki
\(\displaystyle{ h_a,h_b,h_c}\) - wysokości trójkątów
\(\displaystyle{ h_x}\) - wysokość trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) padająca na bok \(\displaystyle{ C}\)
\(\displaystyle{ ah_a=bh_b=ch_c\\
ah_a+bh_b+ch_c=ab\\
3ah_a=ab\\
3h_a=b\\
3h_b=a\\
3ch_c=ch_x\\
3h_c=h_x\\
h_x=\frac{ab}{c}\\
h_c=\frac{ab}{3c}\\
\left| PC\right| = 2h_c\\
\left| PA\right| = 2h_b\\
\left| PB\right| = 2h_a \\
4h_b^2+4h_a^2 = m\\
\frac{m}{4} =h_b^2+h_a^2\\
c=3\sqrt{h_a^2+h_b^2}\\
c=3\sqrt{\frac{m}{4}}}\)
Ni jak to podstawić.

[kerajs]

Skoro powyższe pola są równe to P jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny,
Zrób rysunek, zaznacz promienie w punktach styczności, oblicz z pitagorasa odcinki PA i PB i...

Tak będzie prościej

[Jozekban]

Czyli odcinki przechodzące przez \(\displaystyle{ P}\) są dwusiecznymi.
Dochodzi wtedy twierdzenie o dwusiecznych:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{c_1}{c_2}}\)

[kerajs]

Czyli odcinki przechodzące przez \(\displaystyle{ P}\) są dwusiecznymi.

Tak

Dochodzi wtedy twierdzenie o dwusiecznych:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{c_1}{c_2}}\)

Jeśli \(\displaystyle{ c_1,c_2}}\) to odcinki na jakie dwusieczna podzieliła przeciwprostokątną to wzór jest prawidłowy