oblicz tangens kata

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Jozekban
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 14 kwie 2013, o 20:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Barczewo
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 2 razy

oblicz tangens kata

Post autor: Jozekban »

Z punktu \(\displaystyle{ P}\) należącego do boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) poprowadzono półprostą dzieląca trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem \(\displaystyle{ \left| AP\right|}\), jeśli \(\displaystyle{ \frac{\left| AP\right| }{\left| PB\right| }=m , m \neq 1}\)
Nie wiem czy półprosta przechodzi przez drugi bok lub wierzchołek.
Bo jeśli przez wierzchołek, to automatycznie mają wspólną wysokość, a jak przez drugi bok to sprawa się komplikuje, bo jest trójkat i czworokąt, a pól ich nie przyrównam bo będą tworzyć się dodatkowe wyrażenia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

oblicz tangens kata

Post autor: matmatmm »

W założeniach masz \(\displaystyle{ m\neq 1}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ P}\) nie jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\), a tylko w tym przypadku półprosta przechodziłaby przez wierzchołek.

Jeśli \(\displaystyle{ m<1}\), to półprosta przechodzi przez bok \(\displaystyle{ BC}\).
Jeśli \(\displaystyle{ m>1}\), to półprosta przechodzi przez bok \(\displaystyle{ AC}\).

Rozważmy pierwszy przypadek \(\displaystyle{ m<1}\).
Oznaczmy punkt przecięcia naszej półprostej z bokiem \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ Q}\) i oznaczmy \(\displaystyle{ \angle BPQ=\alpha}\).

Łatwo wyliczyć, że \(\displaystyle{ PB=\frac{AB}{m+1}}\).
Dalej z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ BPQ}\)

\(\displaystyle{ \frac{BQ}{\sin\alpha}=\frac{PB}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ BQ=PB \frac{\sin\alpha}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}}\)

\(\displaystyle{ P}\) - pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ P_1}\) - pole trójkąta \(\displaystyle{ BPQ}\)

\(\displaystyle{ P=\frac{{AB}^2\sqrt{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ P_1=\frac{1}{2}PB\cdot BQ \sin 60^{\circ}=\frac{{PB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4\sin(120^{\circ}-\alpha)}=\frac{{AB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4(m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)}}\)

Mamy zatem równanie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P=P_1}\)
\(\displaystyle{ \frac{{AB}^2\sqrt{3}}{8}=\frac{{AB}^2 \sqrt{3}\sin\alpha}{4(m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ (m+1)^2 \sin(120^{\circ}-\alpha)=2\sin\alpha}\)

Przypadek \(\displaystyle{ m>1}\) da się sprowadzić do pierwszego.
ODPOWIEDZ