znajdź długość trzeciego boku trójkąta

[Jozekban]

Dane są długości boków \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)trójkąta.Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b

\(\displaystyle{ \alpha + \beta +\gamma = \pi \\
\alpha + 2\alpha +\gamma = \pi \\
\gamma = \pi - 3\alpha\\
\frac{c}{\sin 2\alpha} = \frac{b}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin \pi - 3\alpha}\\\\
\frac{c}{\sin 2\alpha} = \frac{b}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin 3\alpha}\\\\
c= \frac{b\sin 2\alpha}{\sin \alpha}\\\\}\)
jak pozbyć się tych funkcji trygonometryczny w liczniku i mianowniku i zamienić je na a?

[mortan517]

Proporcje źle są. Chyba zły rysunek zrobiłeś. Naprzeciw boku \(\displaystyle{ c}\) jest \(\displaystyle{ 2 \alpha}\).

Poza tym tego trzeciego kąta już ci nie trzeba. Tw. sinusów i cosinusów.

[Jozekban]

Poprawione.

\(\displaystyle{ c^2= a^2+b^2 -2ab\cos 2\alpha\\\\
c= \frac{b\sin 2\alpha}{\sin \alpha}\\\\
c=\frac{2b\sin \alpha\cos\alpha}{\sin \alpha}\\\\
\frac{c}{2b}=\cos\alpha\\\\
\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha -1\\\\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab( (\frac{c}{2b})^2 -1 )\\\\
c^2 + \frac{ac^2}{2b} = a^2 + b^2 + 2ab\\\\
c^2(1+ \frac{a}{2b})=a^2+b^2+2ab\\\\
c^2= \frac{2(a+b)^2}{2b+a}\\\\
c= \frac{(a+b)\sqrt{2(2b+a)}}{2b+a}}\)

[mortan517]

Z twierdzenia sinusów masz warunek \(\displaystyle{ \frac{c}{2b}=\cos\alpha}\)

On jest ok. A zrób twierdzenie cosinusów z wykorzystaniem \(\displaystyle{ \alpha}\), a nie \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) powinien być przyjemniejszy wynik.

[Jozekban]

\(\displaystyle{ c^2+b^2=a^2-2cb\cos \alpha\\\\
c^2+b^2=a^2-c^2\\\\
2c^2=a^2-b^2\\\\
c=\frac{\sqrt{2(a^2-b^2)}}{2}}\)
A no.

[mortan517]

Mmm nie no teraz coś nie tak.

To jakie jest twoje równanie z tym \(\displaystyle{ \alpha}\)?

[Jozekban]

Niepotrzebne równanie wcześniej miałem. Poprawiłem
Te równanie:
\(\displaystyle{ c^2+b^2=a^2-2cb\cos \alpha}\)

[mortan517]

Ale tak nie wygląda twierdzenie cosinusów

\(\displaystyle{ \alpha}\) leży na przeciwko boku \(\displaystyle{ b}\)

[Jozekban]

Wszędzie znaki pomyliłem przy kącie...
Poprawiam!
\(\displaystyle{ a^2+c^2=b^2+2ac\cos \alpha\\
a^2+c^2=b^2+2ac \cdot \frac{c}{2b} \\
a^2+c^2=b^2+ \frac{ac^2}{b}\\
c^2-\frac{ac^2}{b} =b^2-a^2\\
c^2(1- \frac{a}{b})=b^2-a^2\\
c^2= \frac{b^2-a^2}{(1- \frac{a}{b})} \\\\
c=\sqrt{ \frac{b^2-a^2}{(1- \frac{a}{b})}}}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ c^2-\frac{ac^2}{b} =b^2-a^2}\)

Do tego momentu dobrze.

[Jozekban]

Znowu znak! Teraz chyba dobrze.

[mortan517]

Dobrze, ale da się to jeszcze troszkę uprościć.

[Jozekban]

\(\displaystyle{ c=\sqrt{ \frac{b^2-a^2}{(1- \frac{a}{b})}}\\\\
c=\sqrt{ \frac{b(b+a)(b-a)}{(b-a)}}\\\\
c=\sqrt{ b(b+a)}}\)

[mortan517]

Właśnie o to mi chodziło