sinus kata trojkata

[Jozekban]

Oblicz sinus jednego z kątów ostrych trójkata prostokątnego, wiedząc, że \(\displaystyle{ \frac{r}{R}= \frac{4}{10}}\), gdzie r-promień wpisany, R-opisany

\(\displaystyle{ \frac{r}{R}= \frac{2}{5}\\\\
r= \frac{a+b-c}{2}\\\\
R= \frac{c}{2}\\\\
\frac{\frac{a+b-c}{2}}{\frac{c}{2}}= \frac{2}{5}\\\\
\frac{a+b-c}{c} = \frac{a+b}{c} -1\\\\
\frac{a+b}{c} -1= \frac{2}{5}\\\\
\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = \frac{7}{5}\\\\
\sin \alpha + \cos \beta=\frac{7}{5}\\\\
\sin \alpha + \sin \frac{\pi}{2}- \alpha =\frac{7}{5}\\\\
\sin \alpha + \cos \alpha=\frac{7}{5}\\\\
\cos^2 \alpha = (\frac{7}{5} - \sin \alpha)^2\\\\
(\frac{7}{5} - \sin \alpha)^2 + \sin^2 \alpha = 1\\\\
2\sin^2 \alpha - \frac{14}{5} \sin \alpha +(\frac{7}{5})^2-1=0}\)
Jest jakiś inny łatwiejszy sposób na to ?

[mortan517]

Czy łatwiejszy to można spekulować, ale na pewno są inne:

Oznacz sobie długość odcinka łączącego środek przeciwprostokątnej z punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną przez \(\displaystyle{ a}\). A następnie pozostałe odcinki do punktów styczności
czyli:
\(\displaystyle{ R, a, R-a \\ r, R+a \\ r , R-a}\)

I później twierdzenie pitagorasa.

[Mathix]

Początek można uprościć:
\(\displaystyle{ a+b=2R+2r \ |:2R \\ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{7}{5} \\ \sin \alpha + \cos \alpha =\frac{7}{5} \ |\uparrow^2 \\ 1+\sin 2\alpha=\frac{49}{25} \\ \sin 2\alpha=\frac{24}{25} \ |\uparrow^2 \\ 1-\cos^2 2\alpha=\left(\frac{24}{25} \right)^2}\)
Dalej już przekształcenia do sinusa.