Punkt szczególny dla równoległoboku.

[JQR]

Udowodnij, że jeżeli dla pewnego punktu M leżącego w płaszczyźnie równoległoboku ABCD zachodzi równość: \(\displaystyle{ MA^2+MC^2=MB^2+MD^2}\), to ten równoległobok jest prostokątem.

[Vax]

Umieśćmy ten równoległobok w układzie zespolonym o środku w punkcie przecięcia przekątnych równoległoboku, wówczas dla pewnych \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{C}}\) współrzędne równoległoboku wynoszą \(\displaystyle{ A(-p), \ B(-q), \ C(p), \ D(q)}\), oznaczmy współrzędną \(\displaystyle{ M}\) jako \(\displaystyle{ m}\), wówczas równość z zadania przyjmuje postać \(\displaystyle{ |m+p|^2 + |m-p|^2 = |m+q|^2 + |m-q|^2 \iff |p|^2 = |q|^2}\), czyli istotnie jest to prostokąt (przekątne równoległoboku są równej długości)