Pola trójkątów - błąd...

[Dreamer1x6xX]

Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AB|=a |BC|=b i a>b. Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.

Rysunek:

\(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{ab}{2}}\)

\(\displaystyle{ x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot h=ab}\)

\(\displaystyle{ h=\frac{ab \cdot \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}+b^{2}}}\)

Wiemy, że: \(\displaystyle{ AED~ABD}\), stąd:

\(\displaystyle{ \frac{h}{|DE}=\frac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{ |DE|=\frac{ab^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a(a^{2}+b^{2}}}\)

\(\displaystyle{ P_{AED}=\frac{b^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot ab\sqrt{a^{2}+b^{2}} }{2(a^{2}+b^{2}} \Rightarrow \frac{ab^{3}}{2}}\)

Tymczasem prawidłowa odpowiedź to: \(\displaystyle{ P_{AED}=\frac{ab^{3}}{2(a^{2}+b^{2}}}\)


@EDIT

Już widzę zapomniałem o:

\(\displaystyle{ P_{AED}=\frac{b^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot ab\sqrt{a^{2}+b^{2}} }{2(a^{2}+b^{2})^{2}} \Rightarrow \frac{ab^{3}}{2(a^{2}+b^{2}}}\)