W prostokacie ABDC poprowadzono odcinek

[vergil]

W prostokacie ABDC poprowadzono odcinek AE prostopadły do przekątnej DB i punkt E należy do boku DC prostokąta. Przekatna DB przecina się z odcinkiem AE w punkcie P. Wiedząc, że AP=8 cm i PE=2cm oblicz:
a) długość przekątnej prostokąta
b) długość boków prostokąta

Wiem jak wygląda rysunek, ale nie potrafię wykonać tego zadania. Prosze o pokazanie sposobu rozwiązania na poziomie 1 klasy LO.

[Mathix]

\(\displaystyle{ |AP|\cdot|PE|=|DP|^2 \\ |DP|^2=8\cdot2 \\ |DP|=4}\)

Z twierdzenia Pitagorasa obliczasz długość boku \(\displaystyle{ DA}\):

\(\displaystyle{ |DP|^2+|AP|^2=|DA|^2 \\ 16+64=|DA|^2 \\ |DA|=4\sqrt{5}}\)

Trójkąty \(\displaystyle{ APD}\) i \(\displaystyle{ BAD}\) są podobne.

\(\displaystyle{ \frac{|DP|}{|DA|}=\frac{|DA|}{|DB|} \\ |DB|=\frac{|DA|^2}{|DP|} \\ |DB|=\frac{80}{4}=20}\)

Długość boku \(\displaystyle{ AB}\) obliczasz z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ |DA|^2+|AB|^2=|DB|^2 \\ |AB|^2=400-80 \\ |AB|=8\sqrt{5}}\)

[mac18]

Hej. Najłatwiej szukać trójkątów podobnych
Trójkąt \(\displaystyle{ APB}\) i \(\displaystyle{ EPD}\) są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ 4}\).
Z tego wynika, że DP jest cztery razy mniejsze od PB.
Trójkąty \(\displaystyle{ ABP}\) i \(\displaystyle{ APD}\) też są podobne. Dalej to już łatwo, ułożyć proporcje itd.

[vergil]

\(\displaystyle{ |AP|\cdot|PE|=|DP|^2 \\ |DP|^2=8\cdot2 \\ |DP|=4}\)

Z[/latex]

Skąd wiemy, że AP*PE=DP do kwadratu?

[Kartezjusz]

Z podobieństwa trójkątów na które dzieli wysokość wychodząca z kąta prostego.