Twierdzenia Talesa przy trójkątach podobnych

[asign123]

Witam mamy taki rysunek do zadania.

... 55f389.jpg

Warunki zadania :
Punkty P,Q,R są środkami odcinków AB, BC i DE

Wykaż że trójkąt PQR jest prostokątny


Jedyne do czego doszedłem to to że odc. BE jest równoległy do odc. CD.
Zadanie należy rozwiązać przy wykorzystaniu twierdzenia Talesa - jak ??

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

[AndrzejK]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ |AE| \parallel |PR| \parallel |BD|}\) oraz \(\displaystyle{ |BE| \parallel |QR| \parallel |CD|}\). Wtedy \(\displaystyle{ \angle EAB = \angle RPQ}\) (kąty odpowiadające). Analogicznie \(\displaystyle{ \angle DCB = \angle RQP}\) (także kąty odpowiadające). Ponadto \(\displaystyle{ \angle EBA = \angle DCA}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBD = \angle CAE}\), a stąd suma obu kątów trójkąta \(\displaystyle{ PQR}\) jest równa \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\). No a stąd już łatwo zauważyć, że trzeci kąt musi być prosty.

Wszystko wykazaliśmy z podobieństwa trójkątów, a gdzie użyć twierdzenia talesa? Do wykazania wyjściowej równoległości (nie jest to oczywiste). Jest to szczególny przypadek twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa. Po więcej zapraszam do mojego tematu: 362539.htm

[asign123]

\(\displaystyle{ |AE| \parallel |PR| \parallel |BD|}\) - to że AE i BD się zgadzam, a skąd wyszło że PR również równoległe ?

[AndrzejK]

Dałem przecież link do tematu . Tam jest wszystko wyjaśnione Spójrz na . Wiemy, że \(\displaystyle{ |CD| \parallel |BD|}\), a punkty \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ F}\) to środki ramion trapezu. Stosunek \(\displaystyle{ |DE|}\) do \(\displaystyle{ |EA|}\) jest taki sam jak stosunek \(\displaystyle{ |DH|}\) do \(\displaystyle{ |HG|}\) (bo \(\displaystyle{ E}\) oraz \(\displaystyle{ H}\) będąc środkami odcinków na których leżą dzielą je na dwa odcinki równej długości). Jest to przypadek twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa - stąd teza (są to proporcje charakterystyczne dla twierdzenia Talesa i zachodzą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |EH| \parallel |AG|}\)).

[asign123]

Powoli ogarniam , moje rozwiązanie jest takie . odc AE i PR są równoległe a wynika to z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion w trapezie ( trapezie ABDE), skoro te odcinki są równoległe to zachodzi twierdzenie Talesa , resztę ( czyli to że trójkąt PQR jest prostokątny) rozwiązuje na zasadzie podobieństwa trójkątów.


Będzie ?