Śmigus dyngus

[kerajs]

Plac w uczęszczanym parku miejskim jest kołem o promieniu R (np. 10m). Jaki zasięg (r) ma mieć pistolet na wodę, aby jego właściciel stojąc na brzegu koła miał pod obstrzałem dokładnie połowę powierzchni placu ?

[Kacperdev]

Jedyne co mi przychodzi do głowy to całka oznaczona.
Fajne zadanie. Widzi ktoś bardziej elementarne rozwiązanie?

[kerajs]

I jaki jest wynik z tej całki oznaczonej kolego Kacperdev ?

Powyzsze pytanie nie powinno zrażać innych forumowiczów przed podaniem prawidłowej odpowiedzi.

Wystarczy dokładny wynik i kilka słów komentarza o drodze którą sie go uzyskało. Wesołych Świąt.

[kropka+]

Pole placu zabaw musi być równe dwóm polom części wspólnej dwóch kół.

[Kacperdev]

Hmm.... spróbowałem to jednak geometrycznie bo z całkami robił się duży cyrk.
Niestety natrafiłem na równość

\(\displaystyle{ \pi = x + 2 \sin x}\)

Jedno rozwiązanie od razu widać: \(\displaystyle{ \pi}\), jednak mi chodzi o rozwiązanie na przedziale \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)

Rozwiązanie istnieje co wynika z własności Darboux, jednak wydaje mi się być wyjątkowo beznadziejne.
Zna ktoś sposób na nienumeryczne rozwiązanie?

[matmatmm]

\(\displaystyle{ AB=AC=AD=R}\)
\(\displaystyle{ BC=BD=r}\)

\(\displaystyle{ \cos\left| \angle ABC\right| =\sin \left(\frac{1}{2}\left| \angle BAC\right| \right)=\frac{r}{2R}}\)

Pole wycinka \(\displaystyle{ CBD}\) jest równe \(\displaystyle{ \pi r^2 \frac{2\left| \angle CBA\right| }{2\pi}=r^2 \left| \angle CBA\right|=r^2 \arccos \frac{r}{2R}}\)
Pole wycinka \(\displaystyle{ CAD}\) jest równe \(\displaystyle{ \pi R^2 \frac{2\left| \angle CAB\right| }{2\pi}=R^2 \left| \angle CAB\right|= 2 R^2 \arcsin \frac{r}{2R}}\)
Pole czworokąta \(\displaystyle{ ACBD}\) jest równe \(\displaystyle{ r\sqrt{R^2-\frac{1}{4}r^2}}\)

Pole części wspólnej dwóch kół wynosi \(\displaystyle{ r^2 \arccos \frac{r}{2R}+2 R^2 \arcsin \frac{r}{2R}-r\sqrt{R^2-\frac{1}{4}r^2}}\)

Mamy zatem równanie
\(\displaystyle{ r^2 \arccos \frac{r}{2R}+2 R^2 \arcsin \frac{r}{2R}-r\sqrt{R^2-\frac{1}{4}r^2}=\frac{1}{2}\pi R^2}\)

Nie mam pojęcia, jak z tego wyliczyć \(\displaystyle{ r}\), ale dla \(\displaystyle{ R=10}\) wychodzi \(\displaystyle{ r\approx 11,5872847301812}\)-- 21 kwi 2014, o 18:25 --

Pole placu zabaw musi być równe dwóm polom części wspólnej dwóch kół.

kropka+, mogłabyś wyprowadzić ten wzór? Bardzo mocno podejrzewam, że jest on nieprawidłowy.

[wujomaro]

kerajs, poczytaj o czymś takim jak ,,problem kozy" (goat problem).
Pozdrawiam!

[Zahion]

kerajs, poczytaj o czymś takim jak ,,problem kozy" (goat problem).
Pozdrawiam!

Myślę, że autor tego tematu zna rozwiązanie tego zadania i wrzucił je dla forumowiczów(problem ten też zapewne zna).

[kropka+]

Plac w uczęszczanym parku miejskim ... pistolet na wodę ... pod obstrzałem ...

Może tu jest jakiś haczyk?

[kerajs]

Tak jak przypuszczał Zahion, powyższe zadanie było trawestacją ,, problemu kozy' na Lany Poniedziałek.

Najbardziej ,,zlał' je kolega matmatmm , który podał końcowy wynik. GRATULACJE.


Pozdrawiam wszystkich.