Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

[karo777]

W trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ |BC|=6}\) \(\displaystyle{ |AC|=8}\) wpisano okrąg, który jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB, BC, CA}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K, L, M}\). Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, miarę kąta \(\displaystyle{ \angle MKL}\) oraz pole trójkąta \(\displaystyle{ MKL}\).

[mortan517]

Podziel sobie trójkąt na trzy mniejsze i poprowadź z środka okręgu wpisanego wysokości opadające na boki dużego trójkąta, wtedy łatwo wyprowadzisz wzór na promień, sumując pola.
ew. możesz skorzystać z istniejącego już wzoru

Miarę kąta policzysz z tw. cosinusów, a pole chociażby ze wzoru herona, wystarczy znaleźć długości boków \(\displaystyle{ KM}\), \(\displaystyle{ ML}\) i \(\displaystyle{ LK}\)

[norwimaj]

Miarę kąta policzysz z tw. cosinusów, a pole chociażby ze wzoru herona, wystarczy znaleźć długości boków \(\displaystyle{ KM}\), \(\displaystyle{ ML}\) i \(\displaystyle{ LK}\)

Czyż nie jest to kąt wpisany w okrąg i oparty na ćwierci okręgu? Jeśli tak, to może da się prościej...

[mortan517]

Rzeczywiście masz rację, nie zauważyłem prostszej metody.

[norwimaj]

Jeszcze warto zauważyć, że promień okręgu jest równy \(\displaystyle{ |CM|}\) i można go łatwo obliczyć z "tw. o czapeczce".

Edit: poprawiłem

[karo777]

Promień już policzony, ale nie mam pojęcia jak się zabrać za boki. Jakaś wskazówka?

[mortan517]

\(\displaystyle{ |KL|}\) policzysz, licząc pole deltoidu \(\displaystyle{ BKOL}\).