Wykaż, że miara kąta jest stała.

[VorMan]

Witam, mam problem z jednym zadaniem (ostatnie z 18). Mianowicie:
Dwa okręgi przecinają się w punktach C i D. Przez punkt C poprowadzono sieczną tych okręgów, która przecięli jeden okrąg w punkcie A, natomiast drugi-w punkcie B. Wykaż, że miara kąta ADB jest stała, nie zależy od sposobu poprowadzenia siecznej przez punkt C.

[porfirion]

Popatrz na trójkąt \(\displaystyle{ ADB}\) - jako, że jest on trójkątem to ma stałą sumę kątów \(\displaystyle{ 180}\) stopni. Chcesz, żeby kąt \(\displaystyle{ ADB}\) miał stałą wartość. Wystarczy i potrzeba więc, żeby suma \(\displaystyle{ CAD+CBD}\) była stała. No ale przecież są to dwa kąty wpisane oparte na łuku \(\displaystyle{ CD}\), więc faktycznie to jaką sieczną poprowadzisz nie będzie miało wpływu na rozwartość żadnego z tych kątów.

[matmatmm]

Według mnie trzeba też rozważyć drugi przypadek, gdy punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ CD}\). Wówczas jeden z kątów \(\displaystyle{ \angle CAD, \angle CBD}\) nie jest oparty na tym samym łuku co w pierwszym przypadku, lecz na łuku dopełniającym.

[janusz47]

Zauważ, ze miary kątów DAC, DBC zawsze są równe (niezależnie od sposobu poprowadzenia cięciwy przez punkt C)- jako miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, odpowiadającym cieciwie CD
Stąd wynika, że miara kąta DAB
\(\displaystyle{ |DAB|= 180^{o}-(|DAC|+|DBC|)}\) jest stała

[matmatmm]

Zauważ, ze miary kątów DAC, DBC zawsze są równe (niezależnie od sposobu poprowadzenia cięciwy przez punkt C)- jako miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, odpowiadającym cieciwie CD

Nie jest to prawda. Punkt \(\displaystyle{ A}\) może leżeć w dowolnym miejscu na okręgu. Cięciwa \(\displaystyle{ CD}\) wyznacza dwa łuki na okręgu i kąt \(\displaystyle{ \angle DAC}\) nie zawsze jest oparty na tym samym łuku.

Trzeba rozważyć drugi przypadek.

[porfirion]

Faktycznie - mój błąd. Drugi przypadek jest fajniejszy XD . Przedłużmy \(\displaystyle{ AD}\) do przecięcia z okręgiem "prawym" w \(\displaystyle{ K}\) (b.s.o \(\displaystyle{ B}\) zawiera się w lewym kole). Na czworokącie \(\displaystyle{ CKDB}\) można opisać okrąg, więc kąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ CKD}\) są równe. Czyli trójkąty \(\displaystyle{ KCA}\) i \(\displaystyle{ BDA}\) są podobne, więc kąty \(\displaystyle{ KCA=BDA}\), co na mocy poprzedniego przypadku kończy zadanie

[VorMan]

porfirion/matmatm, czy mógłbyś to rozrysować? Będę wdzięczny.