Zależności w czworokącie

[rafal20]

1. Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkt \(\displaystyle{ S}\) należy do przekątnej \(\displaystyle{ AC}\), a pola trójkątów \(\displaystyle{ ABS}\) i \(\displaystyle{ CDS}\) są równe. Pole trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\) jest równe \(\displaystyle{ 25}\), a pole trójkąta \(\displaystyle{ DAS}\) jest równe \(\displaystyle{ 36}\). Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABS}\).

2. W czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Okrąg ten jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ CD}\), \(\displaystyle{ DA}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ K}\), \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ N}\).
Wiadomo, że \(\displaystyle{ 2·\left| \angle AKN\right| = \left|\angle KLM \right|}\) oraz \(\displaystyle{ 2·\left|\angle BKL \right| = \left|\angle KNM \right|}\). Oblicz długość odcinka \(\displaystyle{ LN}\).

Prosiłbym o jakąś podpowiedź do tych dwóch zadań.

[kropka+]

1.Wskazówka: Po obu stronach przekątnej masz po dwa trójkąty, które mają tę samą wysokość opadającą na przekątną. A więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw.

[bakala12]

Hint do 2:    

Zauważ, że \(\displaystyle{ \angle KLM + \angle KNM=180 ^{\circ}}\)
Stąd pewne kąty są proste. Które? Jaka jest zatem długość \(\displaystyle{ LN}\)?

[kropka+]

2. Pachnie mi to twierdzeniem Ptolemeusza.

[bakala12]

2. Pachnie mi to twierdzeniem Ptolemeusza.

No już bez przesady Nie trzeba używać wyrafinowanych narzędzi, kiedy można to przeliczyć na kątach w 3 linijkach

[kruszewski]

2. Pachnie mi to twierdzeniem Ptolemeusza.

A skąd pewność że na tym czworokącie można opisać okrąg ?

W.Kr.

[bakala12]

kropka+ zapewne miała na myśli czworokąt \(\displaystyle{ KLMN}\)

[kruszewski]

Ale nie na każdym czworokącie opisanym na okręgu można opisać okrąg.
W.Kr.

[kropka+]

Ale nie każdym czworokącie opisanym na okręgu można opisać okrąg.
W.Kr.

O co tu chodzi?

[bakala12]

Ale nie każdym czworokącie opisanym na okręgu można opisać okrąg.
W.Kr.

Nie rozumiem. W zadaniu 2 punkty \(\displaystyle{ K,L,M,N}\) leżą na okręgu wpisanym, więc na czworokącie \(\displaystyle{ KLMN}\) można opisać okrąg. Wobec tego można dla niego użyć twierdzenia Ptolemeusza. Ale wątpię żeby to dało jakieś wymierne korzyści.

[kruszewski]

Ale nie na każdym czworokącie opisanym na okręgu można opisać okrąg.
W.Kr.

O co tu chodzi?

Literówka, (już poprawiłem) a dotyczy tego, co napisał Pan "Bakala 12" i tw. Ptolemeusza.
W.Kr.

[kropka+]

\(\displaystyle{ LN}\) to przekątna czworokąta wpisanego w okrąg, więc pachniało mi to tym twierdzeniem. Nie upieram się, ponieważ nie rozwiązywałam tego zadania.

[kruszewski]

"2. W czworokąt wypukły ABCD jest wpisany okrąg o promieniu 1. Okrąg ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N."
Zatem nie wpisany a opisany na okręgu.
Sugestia słów, która mnie zdarza się bardo często.
Pozdrawiam,
W.Kr.

[kropka+]

Czworokąt \(\displaystyle{ KLMN}\) jest wpisany w okrąg, a czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest opisany na okręgu.

[kruszewski]

Słuszna uwaga. Niedostrzegłem choć widzę to.
Przepraszam zatem ! i serdecznie. Tak, tu można użyć tw. Ptolemeusza.

W.Kr.-- 6 kwi 2014, o 14:14 --\(\displaystyle{ 2·\left| \angle AKN\right| = \left|\angle KLM \right|}\)
Jak czytać taki napis?