W odcinek koła o kącie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \pi \right)}\) i długości podstawy b wpisano kwadrat. Obliczyć pole tego kwadratu.
Kwadrat wpisany w odcinek koła
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Kwadrat wpisany w odcinek koła
niech promień koła będzie równy \(\displaystyle{ r}\)
dorysujmy układ współrzędnych tak, że środek koła to \(\displaystyle{ (0,0)}\), a oś iksów jest równoległa do narysowanej cięciwy
środek tej cięciwy ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(0, - r \cos \frac \alpha 2 \right)}\)
jeden z wierzchołków tego kwadratu leży na prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ \left(0, - r \cos \frac \alpha 2 \right)}\) o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ \arctan 2}\)
dostajemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ y=x \arctan 2 - r \cos \frac \alpha 2 \end{cases}}\), którego rozwiązaniami \(\displaystyle{ (x,y)}\) są pary \(\displaystyle{ \left( \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 - \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r, \frac{- \cos \frac \alpha 2 - \arctan 2 \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 + \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r, \frac{- \cos \frac \alpha 2 + \arctan 2 \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r \right)}\)
przy czym \(\displaystyle{ r = \frac{b}{2 \sin \frac \alpha 2}}\) oraz interesuje nasz ten pierwszy wynik, bo współrzędna iksowa wyszła ujemna
pole tego kwadratu to kwadrat boku, czyli tyle \(\displaystyle{ \left(2 \cdot \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 - \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot \frac{b}{2 \sin \frac \alpha 2} \right)^2}\)
dorysujmy układ współrzędnych tak, że środek koła to \(\displaystyle{ (0,0)}\), a oś iksów jest równoległa do narysowanej cięciwy
środek tej cięciwy ma współrzędne \(\displaystyle{ \left(0, - r \cos \frac \alpha 2 \right)}\)
jeden z wierzchołków tego kwadratu leży na prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ \left(0, - r \cos \frac \alpha 2 \right)}\) o współczynniku kierunkowym \(\displaystyle{ \arctan 2}\)
dostajemy układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ y=x \arctan 2 - r \cos \frac \alpha 2 \end{cases}}\), którego rozwiązaniami \(\displaystyle{ (x,y)}\) są pary \(\displaystyle{ \left( \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 - \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r, \frac{- \cos \frac \alpha 2 - \arctan 2 \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 + \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r, \frac{- \cos \frac \alpha 2 + \arctan 2 \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot r \right)}\)
przy czym \(\displaystyle{ r = \frac{b}{2 \sin \frac \alpha 2}}\) oraz interesuje nasz ten pierwszy wynik, bo współrzędna iksowa wyszła ujemna
pole tego kwadratu to kwadrat boku, czyli tyle \(\displaystyle{ \left(2 \cdot \frac{\cos \frac \alpha 2 \arctan 2 - \sqrt{\sin^2 \frac \alpha 2 + \left(\arctan 2\right)^2}}{1+\left(\arctan 2\right)^2} \cdot \frac{b}{2 \sin \frac \alpha 2} \right)^2}\)