Trójkąt równoramienny wpisany w okrąg

[edward1337]

Na trójkącie równoramiennym \(\displaystyle{ ABC}\) \(\displaystyle{ (|AC | = |BC | )}\) o polu równym \(\displaystyle{ 3\sqrt{3}}\) opisano okrąg, którego promień ma długość 2 cm. Oblicz długość wysokości \(\displaystyle{ CD}\) tego trójkąta.

Oznaczam:
\(\displaystyle{ 2a}\)- długość podstawy \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ b}\)- długość ramion
\(\displaystyle{ h}\)- wysokość trójkąta poprowadzona na podstawę \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\)-kąt między ramionami
i rozwiązuję:
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3} = \frac{1}{2} 2a \cdot h=a \cdot h}\)
z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{2a}{\sin \alpha } =4}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= b^{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}= \frac{b^{2} \cdot a}{4}}\)
I z tw Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^{2}+h^{2}=b^2}\)
Otrzymuje więc układ z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ a^{2}+h^{2}=b^2}\)
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}= \frac{b^{2} \cdot a}{4}}\)
\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}=a \cdot h}\)
czy moje rozumowanie jest poprawne?
Bo wynik mi się nie chce zgodzić.
Proszę o pochylenie się nad moim problemem.

[noir-moon]

Wydaje mi się, że za dużo kombinowania

\(\displaystyle{ O}\)- środek okręgu opisanego
\(\displaystyle{ x}\)- odcinek \(\displaystyle{ OC}\) (\(\displaystyle{ x+2}\) to wysokość \(\displaystyle{ DC}\))
\(\displaystyle{ a}\)- odcinek \(\displaystyle{ DA=BD}\)

\(\displaystyle{ OC=2}\)

z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ x^{2}+ a^{2}= 2^{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{4- x^{2} }}\) co wstawiamy do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ \frac{2a \cdot (x+2)}{2}=3 \sqrt{3}}\)

i otrzymujemy \(\displaystyle{ x=1}\) czyli \(\displaystyle{ CD = 3}\)