Okrąg opisany na trójkącie

[Logiczny40]

Treść zadania:

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie długości 8 cm, wiedząc, że:
a) ramię trójkąta ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\)

Zadanie rozwiązywałem w następujący sposób:
Narysowałem okrąg i w nim trójkąt, skoro trójkąt jest równoramienny to wszystkie kąty mają wartość
60 stopni. Następnie dorysowałem jego wysokość i podzieliła ona kąt na 2 co dało mi trójkąt o kątach 90,60,30 stopni. Wziąłem połowę podstawy - tj. 4 wysokość oznaczyłem sobie jako b i skorzystałem z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ 4 ^{2} + b^{2} = (4 \sqrt{5}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 8}\)

Następnie obliczyłem pole trójkąta : \(\displaystyle{ \frac{4*8}{2} = 16}\)

I skorzystałem ze wzoru na długość promienia w okręgu opisanym na trójkącie:

\(\displaystyle{ R = \frac{abc}{4P} = \frac{8 * 4 \sqrt{5} * 4 \sqrt{5} }{64} = \frac{640}{64} = 10}\)

W odpowiedziach mam, że promień wynosi \(\displaystyle{ 5}\). I rzeczywiście jeżeli do wzoru na promień podstawimy połowę średnicy to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{320}{64} = 8}\) i moje pytanie jest następujące: jeżeli mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym opisanym na trójkącie to zawsze bierzemy połowę podstawy ? Bo na to by wychodziło patrząc na to zadanie.

Prosiłbym o wytłumaczenie tego, pozdrawiam.

[mortan517]

Pole źle policzone.

[Logiczny40]

Dlaczego źle? Podstawa razy wysokość przez dwa.

[Gouranga]

Logiczny40, a jaka jest podstawa tego trójkąta? Twierdzisz, że \(\displaystyle{ 4}\)?

[Logiczny40]

Z tego jak sobie narysowałem to na to wychodzi, mylę się ?

[karolcia_23]

Popełniłeś troszkę błędów, ale stosowałeś dobre wzory
Może od poczatku

Treść zadania:

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie długości 8 cm, wiedząc, że:
a) ramię trójkąta ma długość \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\)

Zadanie rozwiązywałem w następujący sposób:
Narysowałem okrąg i w nim trójkąt, skoro trójkąt jest równoramienny to wszystkie kąty mają wartość
60 stopni.

To że trójkąt jest równoramienny to nie znaczy, że wszystkie jego kąty są tej samej miary i mają 60 stopni, pomyliłeś z trójkątem równobocznym(w tym wszystkie boki są takie same i kąty mają 60 stopni). Trójkąt równoramienny ma ramiona tej samej długości i dwa kąty przy podstawie tej samej miary.

Następnie dorysowałem jego wysokość i podzieliła ona kąt na 2 co dało mi trójkąt o kątach 90,60,30 stopni. Wziąłem połowę podstawy - tj. 4 wysokość oznaczyłem sobie jako b i skorzystałem z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ 4 ^{2} + b^{2} = (4 \sqrt{5}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 8}\)

Fakt wysokość podzieli kąt między ramionami i podstawę na pół. Jak wyżej napisałam złe kąty. Wysokość jest dobrze policzona

Następnie obliczyłem pole trójkąta : \(\displaystyle{ \frac{4*8}{2} = 16}\)

I skorzystałem ze wzoru na długość promienia w okręgu opisanym na trójkącie:

\(\displaystyle{ R = \frac{abc}{4P} = \frac{8 * 4 \sqrt{5} * 4 \sqrt{5} }{64} = \frac{640}{64} = 10}\)

Źle wzięta podstawa trójkąta, liczysz pole całego trójkąta, a nie tego co Ci powstał czyli
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32}\)

Następnie, dobry wzór, ale przez poprzednie niepoprawne obliczenia otrzymałeś zły wynik
\(\displaystyle{ R=\frac{abc}{4P}=\frac{8\cdot 4\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{4\cdot32}=(\sqrt{5})^{2}=5}\)

[Logiczny40]

Okej, rozumiem już i dziękuję !