Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym.

[karlx]

Proszę o pomoc, nie mogę sobie poradzić.

1. Na okręgu o promieniu 1 opisano trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długośc x i y. Wyznacz y jako funkcję x.

2. Oblicz sinus jednego z kątów ostrych trójkąta prostokątnego, wiedząc że stosunek długości promienia okręgu wpisanego do promienia okręgu opisanego na nim wynosi 0,4.

[soku11]

1.
x-r+y-r -dl. przeciwprostokatnej

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(x+y-2)^{2}\\}\)

Dalej sobie wyliczasz y POZDRO

[greey10]

1)

spojrz na wzoru na pole trojkata ;D i tam masz wszystko napisane teraz wystarczy ulozyc odpowiednia rownosc ;D

[karlx]

Dzięki, a może ktoś jeszcze drugie zrobić, albo chociaż wskazówki czy potrzebne równanie...

[soku11]

To moze napisze takie maly wstepik, z ktorego pozniej moze cos wyjdzie:
r- wpisane
R- opisane

\(\displaystyle{ a+b-2r=c\\
c=2R\\
a+b-2r=2R\\
2R+2r=a+b\\
R+r=\frac{a+b}{2}\\}\)

W polaczeniu z pitagorasem powinno cos pomoc POZDRO

[Vixy]

w tym drugim skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

[greey10]

w tym drugim skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

wiem ze to jest dokladnie to co napisal soku11 ale mam pytanie czy dla wszystkich trojkatow jest to spelnione czy tylko dla tego jednego i skad to sie wzielo zgory dziekuje!

[belzebub]

1.
x-r+y-r -dl. przeciwprostokatnej

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(x+y-2)^{2}\\}\)

Dalej sobie wyliczasz y POZDRO

trochę stary temat, ale z czego bierze się ta równość bo jakoś nie wiem? ; )

[binaj]

w tym drugim skorzystaj ze wzoru \(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

wiem ze to jest dokladnie to co napisal soku11 ale mam pytanie czy dla wszystkich trojkatow jest to spelnione czy tylko dla tego jednego i skad to sie wzielo zgory dziekuje!

to jest spełnione tylko dla trójkąta prostokątnego:
mój dowód:(można też geometrycznie)

\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} = c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} - c^{2} + 2ab = 2ab}\)
\(\displaystyle{ 2ab=(a+b-c)(a+b+c)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{2}}\)
porównując wzory na pole trójkąta prostokątnego:
\(\displaystyle{ r\frac{a+b+c}{2}= \frac{ab}{2} r= \frac{ab}{a+b+c}}\)
zatem
\(\displaystyle{ r= \frac{a+b-c}{2}}\) CKD.

edit: nie zobaczyłem kiedy ten temat umieszczono hehe

[inka155]

Czy przy uzywaniu tego wzoru r=\(\displaystyle{ \frac{a+b-c}{2}}\) konieczne jest jego wyprowadzenie? np. na maturze