Witam serdecznie,
Mam pewien problem z rozwiązaniem zadania:
Wysokości \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ H}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) są odpowiednio środkami odcinków \(\displaystyle{ AH}\) i \(\displaystyle{ BH}\). Punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są odpowiednio środkami boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\). Udowodnij, że czworokąt \(\displaystyle{ MNKL}\) jest prostokątem.
Otóż wykazałem, iż odcinki \(\displaystyle{ MN, KL}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\) są do siebie równoległe (na podstawie tego, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do jego podstawy). Kompletnie nie wiem, co dalej.
Z góry dziękuję za odpowiedź i pozdrawiam,
Andooo888
Wysokości trójkąta ostrokątnego.
-
Andooo888
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 18 mar 2014, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 2 razy
Wysokości trójkąta ostrokątnego.
Ostatnio zmieniony 1 kwie 2014, o 20:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Mathix
- Użytkownik
- Posty: 357
- Rejestracja: 18 mar 2012, o 13:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 73 razy
Wysokości trójkąta ostrokątnego.
Narysuj sobie dobry, duży rysunek.
Z tego co napisałeś mamy już, że \(\displaystyle{ |KL|\left| \right| |NM|}\) oraz \(\displaystyle{ |KL|=|NM|}\)
Poprowadźmy teraz prostą przez punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ H}\), będzie to wysokość trójkąta poprowadzona na bok \(\displaystyle{ AB}\).
Ponieważ punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\) oraz punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AH}\), to odcinek \(\displaystyle{ NK}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ CH}\) i równy jego połowie.
Odcinek \(\displaystyle{ CH}\) jest prostopadły do odcinka \(\displaystyle{ NM}\) (bo leży na wysokości trójkąta), więc czworokąt \(\displaystyle{ MNKL}\) jest prostokątem.
Z tego co napisałeś mamy już, że \(\displaystyle{ |KL|\left| \right| |NM|}\) oraz \(\displaystyle{ |KL|=|NM|}\)
Poprowadźmy teraz prostą przez punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ H}\), będzie to wysokość trójkąta poprowadzona na bok \(\displaystyle{ AB}\).
Ponieważ punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AC}\) oraz punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AH}\), to odcinek \(\displaystyle{ NK}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ CH}\) i równy jego połowie.
Odcinek \(\displaystyle{ CH}\) jest prostopadły do odcinka \(\displaystyle{ NM}\) (bo leży na wysokości trójkąta), więc czworokąt \(\displaystyle{ MNKL}\) jest prostokątem.