Wysokość trapezu równoramiennego

[karolex123]

Dany jest trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), przy czym \(\displaystyle{ a<b}\). Przekątne tego trapezu są prostopadłe do jego ramion. Wyznacz wysokość tego trapezu.
Ja bym opuścił wysokość z jakiegoś wierzchołka krótszej podstawy na dłuższą podstawę. Punkt, na który pada ta wysokość to punkt \(\displaystyle{ E}\). Zauważam, że trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ AED}\) są podobne (\(\displaystyle{ AB}\) to podstawa o długości \(\displaystyle{ b}\), a \(\displaystyle{ CD}\) to podstawa o długości \(\displaystyle{ a}\)). Oznaczam przez \(\displaystyle{ c}\) długość ramienia tego trapezu, a jako \(\displaystyle{ x}\) długość odcinka \(\displaystyle{ AE}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ x= \frac{b-a}{2}}\)
I z podobieństwa:
\(\displaystyle{ \frac{b}{c}= \frac{c}{x}}\)
\(\displaystyle{ c ^{2} =bx}\)
Ale z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x ^{2}+h ^{2} =c ^{2}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ bx=x ^{2}+h ^{2}}\)
Stąd już łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ h}\).
Czy dobrze rozumuję? Załączam rysunek.

[loitzl9006]

wygląda na to że wszystko jest ok

[karolex123]

Ok, mam nadzieję

[bakala12]

Ciut inaczej, można zauważyć, że środek dłuższej podstawy jest środkiem okręgu opisanego na tym trapezie. Stąd prowadząc wysokość i jeden z promieni mamy szybciej z Pitagorasa: \(\displaystyle{ h^{2}+\left( \frac{a}{2}\right)^{2}=\left( \frac{b}{2}\right)^{2}}\)

[karolex123]

bakala12 fajny sposób . Dzięki