Udowodnij, że proste przecinają się w jednym punkcie.

[matmatmm]

Dany jest trapez \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ AB || CD}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{AP}{PB}=\frac{DQ}{QC}}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ AD,BC,PQ}\) są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.

[norwimaj]

Niech proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ R}\), a \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Ile jest równy stosunek \(\displaystyle{ \frac{RQ}{PQ}}\)? A ile \(\displaystyle{ \frac{SQ}{PQ}}\)?

[bakala12]

Inaczej, oznaczmy przez \(\displaystyle{ X}\) punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\). Rozważmy jednokładność o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) przekształcającą prostą \(\displaystyle{ CD}\) na \(\displaystyle{ AB}\). Na co przechodzi punkt \(\displaystyle{ Q}\) w tej jednokładności?

[matmatmm]

Chyba zrobiłem, ale tak:
\(\displaystyle{ \frac{RQ}{RP}=\frac{DQ}{AP}=\frac{CQ}{BP}=\frac{SQ}{SP}}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ R=S}\).-- 12 mar 2014, o 15:10 --A jak byś uzasadnił to z tą jednokładnością, bakala12?

[norwimaj]

Chyba zrobiłem, ale tak:
\(\displaystyle{ \frac{RQ}{RP}=\frac{DQ}{AP}=\frac{CQ}{BP}=\frac{SQ}{SP}}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ R=S}\).

Z samej tej równości to nie wynika, nawet gdy \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) są współliniowe. Ja bym się postarał to ostrożniej sformułować.

A jak byś uzasadnił to z tą jednokładnością, bakala12?

Istnienie żądanej jednokładności wynika z tw. Talesa.

Jak już tę jednokładność mamy, to stosujemy twierdzenie: jednokładność o skali \(\displaystyle{ k}\) jest podobieństwem o skali \(\displaystyle{ |k|}\), w szczególności przekształca odcinki na odcinki, końce odcinków na końce odcinków, punkty dzielące odcinki w danym stosunku na punkty dzielące odcinki w tym samym stosunku.

[matmatmm]

Chyba zrobiłem, ale tak:
\(\displaystyle{ \frac{RQ}{RP}=\frac{DQ}{AP}=\frac{CQ}{BP}=\frac{SQ}{SP}}\)
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ R=S}\).

Z samej tej równości to nie wynika, nawet gdy \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) są współliniowe.

Masz rację, ale w połączeniu z faktem, że zarówno \(\displaystyle{ R}\) jak i \(\displaystyle{ S}\) leżą na zewnątrz odcinka \(\displaystyle{ PQ}\), to już tak.

[norwimaj]

Tak, to prawda.