Okrag wpisany i opisany na trójkącie

[miki93]

Pilnie proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ma 2cm a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5cm. Oblicz długość boków trójkąta.

[mortan517]

Wzory na promienie wpisane i opisane znasz?

[miki93]

Znam ale nic mi nie dają ponieważ obliczyłam przeciwprostokatną owszem natomiast potrzebuje jeszcze conajmniej jednej przyprostokątnej i z tym właśnie jest problem.

[Kaf]

Przecież mamy trzy niewiadome i trzy równiania: jedno z tw. Pitagorasa, wzór na promień okręgu wpisanego oraz wzór na promień okręgu opisanego. Powinno dać się wyliczyć.

[miki93]

powinno ale jakoś mi nie idzie. Mógłby mi ktoś ułożyć te równania? będę wdzięczna

[Kaf]

Oznaczasz sobie przyprostokątne przez powiedzmy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), a przeciwprostokątną przez \(\displaystyle{ c}\) i wstawiasz do wzoru.

[miki93]

Tak zrobiłam, ale na końcu wychodzi (14-b)do kwadratu + b do kwadratu =100
Więc problem polega na tym że znika cały czas to b.

[Kaf]

\(\displaystyle{ (14-b)^2+b^2=196-28b+b^2+b^2=196-28b+2b^2}\) ergo \(\displaystyle{ b^2-14b+98=50}\) więc \(\displaystyle{ b^2-14b+48=0}\)

[miki93]

Ok głupi błąd xD dzięki A powiedzcie mi jeszcze czy są możliwe dwa rowiazania? Bo tak mi wyszło i nie wiem czy to logiczne.

[Kaf]

Zrób sprawdzenie. Możliwe, że jakieś dodatkowe rozwiązanie pojawiło się, które spełnia jedno równanie, ale cały układ nie.

[miki93]

ok dzięki ^^

[bakala12]

A powiedzcie mi jeszcze czy są możliwe dwa rowiazania?

Na zdrowy rozum powinny być dwa rozwiązania bo rola przyprostokątnych w zadaniu jest symetryczna.
Mimo, że są dwa rozwiązania to powinny one wyznaczać ten sam trójkąt, po prostu kolejność przyprostokątnych będzie inna.