Wzór na pole trapezu

[squared]

Witam.

Oczywiście każdy zna wzór na pole trapezu \(\displaystyle{ P_{trapezu} = \frac{(a+b)h}{2}}\). Wyprowadzenie tego wzoru jest znane z niższych klas szkoły podstawowej: z trapezu robimy dwa trapezy, mamy równoległobok. Jak ktoś nie zna wzoru na równoległobok to tworzymy z niego prostokąt i już ze wzoru na prostokąt wszystko wychodzi. A co ze wzorem na prostokąt? Uznajemy go za wzór, którego nie musimy już udowadniać?

To ostatnie pytanie jest dodatkowe. Chciałem się zapytać, czy istnieją inne metody wprowadzenia wzoru na trapez, poza tym "podstawówkowym", gdzie coś wycinamy, łączymy i wychodzi.

[AloneAngel]

Można też podzielić ten trapez przekątną. Powstaną wówczas dwa trójkąty. Pole jednego to \(\displaystyle{ \frac{a\cdot h}{2}}\) a pole drugiego \(\displaystyle{ \frac{b \cdot h }{2}}\). Suma ich da \(\displaystyle{ \frac{(a+b) \cdot h}{2}}\)

[squared]

A dziękuję, bardzo sprytne rozwiązanie, jednak przy korzystaniu z niego wracamy się do wzoru na pole trójkąta wyprowadzonego ze wzoru na pole równoległoboku czy też prostokąta. Jak rozumiem tego faktu nigdy nie pominiemy.

[matmatmm]

Przy odpowiedniej definicji pola dowodzi się, że pole prostokąta jest zależne tylko od długości boków oraz funkcja pola \(\displaystyle{ f:(0,\infty)\times (0,\infty)\rightarrow\RR}\) spełnia równania funkcyjne:
\(\displaystyle{ f(a+b,c)=f(a,c)+f(b,c)}\)
\(\displaystyle{ f(a,b+c)=f(a,b)+f(a,c)}\)
Przy dodatkowym założeniu, że pole ma być dodatnie, dowodzi się, że jedynymi funkcjami, które spełniają ten układ równań są funkcje postaci \(\displaystyle{ f(x,y)=cxy}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c>0}\). Dalej przyjmuje się \(\displaystyle{ c=1}\), aby spełniony był warunek, że pole kwadratu jednostkowego jest równe \(\displaystyle{ 1}\).