pokrywanie płaszczyzny

[metalknight]

Czy można tak pokryć płaszczyznę trójkątami równobocznymi o rozłącznych wnętrzach, że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów, aby można było otrzymać kwadrat, którego wszystkie wierzchołki leżałyby w wierzchołkach pewnych wspomnianych trójkątów?

[kropka+]

Płaszczyzna jest nieskończona, więc myślę, że można ją pokryć sześciokątami. (Prostokąta nimi nie pokryjesz).

[metalknight]

Nie pytam o pokrycie sześciokątami tylko trójkątami równobocznymi.

[kropka+]

Z sześciu trójkątów równobocznych układasz sześciokąt.

[metalknight]

Ale jakich trójkątów równobocznych? Dowolnych?

[kropka+]

Z przystających, boku dowolnej długości.

[norwimaj]

że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów,

Przez jakiś czas myślałem, że z tego warunku wynika, że wszystkie te trójkąty muszą być przystające, ale już się rozmyśliłem.

[kropka+]

No to powiedz co wymyśliłeś.

[a4karo]

że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów,

Przez jakiś czas myślałem, że z tego warunku wynika, że wszystkie te trójkąty muszą być przystające, ale już się rozmyśliłem.

Chyba wynika...

[norwimaj]

Teraz już sam nie wiem, czy to się da zrobić. Mój pomysł polegał na zapełnianiu wolnych przestrzeni coraz mniejszymi trójkątami tak, żeby trójkąty różnych rozmiarów się nie stykały. Jednak nie można tego zrobić całkiem bezmyślnie, bo może zostać jakiś zbiór miary zero. W tej chwili nie wiem, czy to w ogóle da się zrobić.

Ale prawie na pewno nie jest to to, o co chodziło autorowi zadania. Myślę, że możemy uznać, że w zadaniu chodziło o siatkę z przystających trójkątów.

[kropka+]

Nie da się utworzyć kąta prostego z trójkątów równobocznych, więc dla mnie sprawa jest jasna.

[norwimaj]

Nie jest powiedziane, że boki kwadratu mają się pokrywać z bokami trójkątów, więc sam kąt prosty nie jest tu przeszkodą. Istnieje prostokąt o wierzchołkach w punktach kratowych siatki.

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,17.32){5}{\line(1,0){140}}
\multiput(0,0)(20,0){7}{
\multiput(0,0)(0,34.64){2}{
\qbezier(0,0)(10,17.32)(20,34.64)
\qbezier(0,34.64)(10,17.32)(20,0)}}
\thicklines
\color{orange}
\put(50,17.32){\circle*{3}}
\put(90,17.32){\circle*{3}}
\put(50,51.96){\circle*{3}}
\put(90,51.96){\circle*{3}}
\put(50,17.32){\line(1,0){40}}
\put(50,51.96){\line(1,0){40}}
\put(50,17.32){\line(0,1){34.64}}
\put(90,17.32){\line(0,1){34.64}}
\end{picture}}\)

Kwadratu w podobny sposób nie można umieścić. Załóżmy, że się da. Umieśćmy początek układu współrzędnych w jednym z wierzchołków kwadratu. Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) będą wektorami wyznaczającymi boki jednego z trójkątów siatki, powiedzmy \(\displaystyle{ v_1=(1,0), v_2=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)}\). Jeden z wierzchołków kwadratu da się przekształcić na inny obrotem o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) wokół początku układu współrzędnych. Macierz takiego obrotu w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\), to

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}^{-1}\cdot
\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt3}&-\frac2{\sqrt3}\\\frac2{\sqrt3}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}}\)

Macierz ta jednak nie może przekształcić niezerowego wektora o współrzędnych wymiernych na wektor o współrzędnych wymiernych.

[kropka+]

Inaczej zinterpretowałam treść zadania, ale pewnie chodziło o to, co napisałeś.

[metalknight]

No dobra, przystającymi się nie da tak pokryć, ale co w innych konfiguracjach gdy nie wszystkie trójkąty są przystające?

[norwimaj]

A rozstrzygnąłeś już, czy w ogóle takie pokrycie płaszczyzny istnieje? A4karo stwierdził, że chyba nie. Ja na razie wstrzymuję się od głosu, bo nie mam ścisłego argumentu ani za, ani przeciw.