pokrywanie płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
pokrywanie płaszczyzny
Czy można tak pokryć płaszczyznę trójkątami równobocznymi o rozłącznych wnętrzach, że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów, aby można było otrzymać kwadrat, którego wszystkie wierzchołki leżałyby w wierzchołkach pewnych wspomnianych trójkątów?
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
pokrywanie płaszczyzny
Przez jakiś czas myślałem, że z tego warunku wynika, że wszystkie te trójkąty muszą być przystające, ale już się rozmyśliłem.metalknight pisze:że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów,
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
pokrywanie płaszczyzny
Chyba wynika...norwimaj pisze:Przez jakiś czas myślałem, że z tego warunku wynika, że wszystkie te trójkąty muszą być przystające, ale już się rozmyśliłem.metalknight pisze:że każdy wierzchołek każdego z tych trójkątów nie leży wewnątrz boku innego z tych trójkątów,
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
pokrywanie płaszczyzny
Teraz już sam nie wiem, czy to się da zrobić. Mój pomysł polegał na zapełnianiu wolnych przestrzeni coraz mniejszymi trójkątami tak, żeby trójkąty różnych rozmiarów się nie stykały. Jednak nie można tego zrobić całkiem bezmyślnie, bo może zostać jakiś zbiór miary zero. W tej chwili nie wiem, czy to w ogóle da się zrobić.
Ale prawie na pewno nie jest to to, o co chodziło autorowi zadania. Myślę, że możemy uznać, że w zadaniu chodziło o siatkę z przystających trójkątów.
Ale prawie na pewno nie jest to to, o co chodziło autorowi zadania. Myślę, że możemy uznać, że w zadaniu chodziło o siatkę z przystających trójkątów.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
pokrywanie płaszczyzny
Nie jest powiedziane, że boki kwadratu mają się pokrywać z bokami trójkątów, więc sam kąt prosty nie jest tu przeszkodą. Istnieje prostokąt o wierzchołkach w punktach kratowych siatki.
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,17.32){5}{\line(1,0){140}}
\multiput(0,0)(20,0){7}{
\multiput(0,0)(0,34.64){2}{
\qbezier(0,0)(10,17.32)(20,34.64)
\qbezier(0,34.64)(10,17.32)(20,0)}}
\thicklines
\color{orange}
\put(50,17.32){\circle*{3}}
\put(90,17.32){\circle*{3}}
\put(50,51.96){\circle*{3}}
\put(90,51.96){\circle*{3}}
\put(50,17.32){\line(1,0){40}}
\put(50,51.96){\line(1,0){40}}
\put(50,17.32){\line(0,1){34.64}}
\put(90,17.32){\line(0,1){34.64}}
\end{picture}}\)
Kwadratu w podobny sposób nie można umieścić. Załóżmy, że się da. Umieśćmy początek układu współrzędnych w jednym z wierzchołków kwadratu. Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) będą wektorami wyznaczającymi boki jednego z trójkątów siatki, powiedzmy \(\displaystyle{ v_1=(1,0), v_2=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)}\). Jeden z wierzchołków kwadratu da się przekształcić na inny obrotem o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) wokół początku układu współrzędnych. Macierz takiego obrotu w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\), to
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}^{-1}\cdot
\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt3}&-\frac2{\sqrt3}\\\frac2{\sqrt3}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}}\)
Macierz ta jednak nie może przekształcić niezerowego wektora o współrzędnych wymiernych na wektor o współrzędnych wymiernych.
\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\multiput(0,0)(0,17.32){5}{\line(1,0){140}}
\multiput(0,0)(20,0){7}{
\multiput(0,0)(0,34.64){2}{
\qbezier(0,0)(10,17.32)(20,34.64)
\qbezier(0,34.64)(10,17.32)(20,0)}}
\thicklines
\color{orange}
\put(50,17.32){\circle*{3}}
\put(90,17.32){\circle*{3}}
\put(50,51.96){\circle*{3}}
\put(90,51.96){\circle*{3}}
\put(50,17.32){\line(1,0){40}}
\put(50,51.96){\line(1,0){40}}
\put(50,17.32){\line(0,1){34.64}}
\put(90,17.32){\line(0,1){34.64}}
\end{picture}}\)
Kwadratu w podobny sposób nie można umieścić. Załóżmy, że się da. Umieśćmy początek układu współrzędnych w jednym z wierzchołków kwadratu. Niech \(\displaystyle{ v_1,v_2}\) będą wektorami wyznaczającymi boki jednego z trójkątów siatki, powiedzmy \(\displaystyle{ v_1=(1,0), v_2=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)}\). Jeden z wierzchołków kwadratu da się przekształcić na inny obrotem o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) wokół początku układu współrzędnych. Macierz takiego obrotu w bazie \(\displaystyle{ v_1,v_2}\), to
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}^{-1}\cdot
\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}1&\frac12\\0&\frac{\sqrt3}2\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt3}&-\frac2{\sqrt3}\\\frac2{\sqrt3}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}}\)
Macierz ta jednak nie może przekształcić niezerowego wektora o współrzędnych wymiernych na wektor o współrzędnych wymiernych.
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
pokrywanie płaszczyzny
No dobra, przystającymi się nie da tak pokryć, ale co w innych konfiguracjach gdy nie wszystkie trójkąty są przystające?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
pokrywanie płaszczyzny
A rozstrzygnąłeś już, czy w ogóle takie pokrycie płaszczyzny istnieje? A4karo stwierdził, że chyba nie. Ja na razie wstrzymuję się od głosu, bo nie mam ścisłego argumentu ani za, ani przeciw.